Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Л е м м а 4. Пусть (1 + |ж|*)/(ж) Є L'(-oo,+oo). Тогда преобразование Фурье к раз дифференцируемо.
Доказательство. Поскольку имеют место неравенства
равномерно сходятся на всей числовой оси соответственно к функциям
< (1 + |жГ))/(ж)і, n =!,...,*
в силу признака Вейерштрасса интегралы
OO
J f(x)(ix)neixydx
-OO
Лемма 4 доказана.
530 JI е м м а 5. Пусть функции f(x),..., Є L (—оо, +оо) и пусть
при X оо справедливы соотношения ft(x) 0, ...,/<л-1)(а?) —>¦ 0. Тогда имеем |у(у)| = о ((у!-*) .
Доказательство. Интегрируя по частям, при любом А > 0 будем иметь
л
J f^{x)eixy'dx= (f(k-V{x)e"v)
А
-Л
-А
л
+ (f{k-2)(*)(-iy)eixv)\A_A + • • • + HiOfc J f(*)eisydx.
-А
Устремим А —> оо. Получим
OO OO
J fW(xy*4x = (-iy)k J f{x)ei3;ydx=(-iy)kg(y).
-OO — ос
По лемме Римана имеем
оо
J f{k)(x)e"
lim / fW(x)etxyd:г = О,
у-+OO
¦оо
поэтому \д(у)\ - о (|у| *) . Лемма 5 доказана.
ТеоремаЗ (равенство Планшереля). Пусть /(X)J1(X)1 /"(*), <р(х) € L'(-OO1 +оо)
и при X —> оо имеем f(x) —» 0 J'{x) 0. Пусть д(у) и ф(у) — преобразования Фурье соответственно f(x) и <р(х). Тогда справедливо равенство
oo oo
J f(x)<p(x)dx -^J g{y)${y)dy,
— оо -co
где черта над функцией ф(у) обозначает операцию комплексного сопряжения.
Доказательство. Пусть А > О — любое число. Преобразуем интеграл
А А /со \
J f(x)<p(x)dx=± J <р(х) J g(y)e~ixy dy j dx =
-A -A Voo /
531 OO / OO \ OO
(/ lpHeixydx I 9Wv = ^ J F{x,y)dy.
-OO Voo / -OO
Перемена порядка интегрирования в последнем несобственном интеграле обосновывается тем, что при некотором с > О имеют место неравенства
оо
\g(y)\<<i+\y\2)-\ / М*)1<*
-OO
и, следовательно, несобственный интеграл сходится равномерно на отрезке [—А,А]. Более того, в силу признака Вейерштрасса имеет место и равномерная сходимость по параметру А при его изменении на всей числовой оси. Поэтому возможно перейти к пределу под знаком несобственного интеграла, и мы получим равенство, утверждаемое в теореме.
Теорема 3 доказана.
Наконец, в качестве приложения теории интегралов Фурье докажем важную формулу Котельникова.
Назовем функцию f(x) сигналом, а ее преобразование Фурье д(у) спектром сигнала. Возникает задача восстановления сигнала по его спектру, т.е. функции по ее преобразованию Фурье. Часто известен спектр на конечном промежутке, т.е. финитный спектр, и мы желаем восстановить сигнал, отвечающий этому спектру, по некоторому дискретному множеству значений сигнала. На этот вопрос и дает ответ формула Котельникова,
Пусть существуют следующие интегралы:
OO
д(у) = f(y) = ^j SHeisydx,
-OO
а
IaH = ^j 9(у)е~ІХУ dy.
— а
Разложим функцию д(у), определенную на [-а, а] и периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 2а, в ряд Фурье. Имеем
+ OO
д{у)= Y c^ynf'
п = — OO
где
532 Следовательно, получим
'•«-Ж/С
> а
і +0° /*
•п —_ »v-,
+ OO . ( ч
/П1Г\ Sin [ах — 7Ї7Г)
аж — птг
П = —OO
Если ряд Фурье функции д(у) при |т/| < а сходится равномерно, его можно почленно проинтегрировать. Поэтому мы получим
/П7Г\ sin (ах — піт)
fa {?)= > /а 1 -J --•
\ а / ах — птс
п = — оо
Эта формула называется формулой Котпелъникова. Лекция 26
§ 13. МЕТОД ЛАПЛАСА И МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Лаплас разработал метод для изучения асимптотического поведения при п —> оо интегралов вида
ь
J(n) = J /(X)iPn (X)tIXl
а
где <f (х) положительна при всех х Є [а, Ь].
Cyть его метода состоит в следующем. Пусть f(x) и <р(х) — гладкие функции и (р(х) имеет только один строгий максимум в точке X — с. Тогда при п —> оо этот интеграл с большой точностью можно заменить на интеграл от этой же подынтегральной функции в некоторой достаточно малой окрестности точки х = с. Но в ней можно воспользоваться разложениями Тейлора функций f(x) и <р(х) и затем последний интеграл достаточно точно вычислить.
Здесь мы дадим изложение метода Лапласа в несколько нетрадиционной форме.
Теоремаї. Пусть Л, A2, A3 — некоторые положительные постоянные, F(x) — вещественная функция, непрерывная со своими производными до третьего порядка на отрезке [а, 6], и при всех х € [а, 6] справедливы неравенства
0<h<~F"(x)<AX2, \F"'(x)\<AX3. .
Пусть также существует точка с, a < с < Ь, такая, что F'' (с) — 0. Тогда справедлива формула
f j_ eF(c)
/eFWdi=^raF3+
а
Я<5е^с)А2-4/5А^5+
где В — некоторая абсолютная постоянная.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что функция F (х) являемся монотонной и, следовательно, обращается в
534 нуль не более чем в одной точке. Это и есть точка х = с. Положим S = (ЛгАз)-1''5- Пусть сначала для точки с выполняется условие a + <S<c<6 — <S. Тогда имеем
Ь с —S c+S Ь
J eF(*>dz - J + J + J = A + /2 + /з-
a а с—5 c+J
Интегралы /і и /2 оцениваются одинаково. По второй теореме о среднем имеем
IAI =
/
F'(ж)
dz
<
1
- |F'(c-fl|
c-S j deFiX)
< ,F(c-6) 1
- I F'(c-S)y
