Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Ь-тг/у
9[y) — ~ J f(t+ ^ei*dt.
a — тг/у
Следовательно,
Я (у) =
Ь-п/у
\
eiyT dx -
I 'И
eiyxdx
a-іт/у
b-n/y
= I J '(/(*) -f(z + ^ jy'dz+
+ 1 J f(x)e^dx~^ J Kzyvdx = A1+A3+ A3.
b-ir/y
a-тт/у
Поскольку f(x) — строго регулярная функция, отрезок [a,b] можно разбить на промежутки непрерывности функции f(x). И если на каждом промежутке непрерывности утверждение леммы будет доказано, то в силу того, что их число конечно, это утверждение останется справедливым и для всего отрезка [а, 6]. Поэтому можно считать, что функция f(z) непрерывна на [а, 6].
В силу непрерывности f(x) имеем, что для любого є > 0 существует С > 0 такое, что для всех у с условием jy| > С выполняется неравенство
TT
f(x) -fix + -\ У
<
6-а
526 Так как непрерывная функция на отрезке ограничена на нем, то существует такое число M > 0, что \f{x)\ < M для всех х Є [а,6]. Следовательно, ІЛ2І + |А3| < жМ/\у\.
Отсюда получим, что при |j/j > max (С, 2тгМ/є) имеет место неравенство |<]г(г/)| < ?¦ А это и означает стремление к нулю функции д(у) при у —> 0.
Лемма 2 доказана.
Jl е м м а 3. Пусть функция f(x) Є L (—00,+00). Тогда ее преобразование Фурье д(у) стремится к нулю при у —у оо.
Доказательство. Зафиксируем произвольное є > 0. В силу абсолютной интегрируемости функции f(x) имеем, что существует число А > 0 такое, что
-А А
J \f(x)\dx + J\f{x)\dx <
— cxj оо
В силу леммы Римана существует У > 0, такое, что при > Y
А
J f(x)eiyxdx
-А
? <2
Следовательно, |<?(у)| < є при |г/| > Y, т.е. д(у) —у 0 при у —У оо. Лемма 3 доказана.
Теорема 1. Пусть \f(x)\ является интегрируемой на (—со, +оо) и на любом конечном отрезке функция f(x) строго регулярна. Пусть также при некотором S > 0 существует несобственный интеграл второго рода
о
Тогда интеграл Фурье функции f(x) сходится в точке Xq к значению Л«о).
Доказательство. Рассмотрим функцию
OO
Mx) = 1k / / e~iy*dy / eiyt^dt
-A -A
527 В последнем интеграле поменяем порядок интегрирования. Это возможно сделать, так как подынтегральная функция является непрерывной и несобственный интеграл равномерно сходится на всем множестве значений параметров. Получим
оо
= к /f{t)di S e'iy{t~x)dy
— оо
— А
оо
s / ™
eiA(t-x) _ e-iA(t-x) і (і - X)
dt =
OO
1 f . sin Au - 1 f. .. . ,.
= - / f(u+x)-du= - if[и + x) + f{x-
7Г J U Ж J
. sin Au и))-du.
и
— оо
Докажем, что Iim /л(хо) = /(^o)-
А—У со
Для этого сначала вспомним, что
OO
/
sin Au . ж
-;-du ~ ~
и 2
Поэтому
OO
/л(®о) - f(xо) = - f v(u)SmAudu.
ж J и
В силу сходимости интеграла Bs имеем, что для любого є > О существует h > О такое, что
п
I
У 2
Из леммы Римана следует, что существует Y > О такое, что для всех А > Y справедливо неравенство
OO /
<р(и)
sin Audu
и
€
<2-
Отсюда имеем, что Iim /д(жо) — fixо)-
А—юо
Теорема 1 доказана.
528 Теорема 2. Пусть /(х) Є L (—оо,со) и пусть также в некоторой S-окрестности точки Xq функция f(x) имеет ограниченную вариацию, S > 0. Тогда ее интеграл Фурье сходится в этой точке к значению f(xо).
Доказательство. Из доказательства предыдущей теоремы получим, что
OO
/а{хо) - /(X0) = - f <p{u)SinAUdu.
тг J U
Поскольку последний интеграл сходится, для любого є > О существует число ? > О такое, что
OO
2 f . . sin Au
du
є <2
В силу условия теоремы функция (р(х) будет иметь ограниченную вариацию на интервале (—S, S) и, кроме того, <р(у) —> О при у —> О-Следовательно, ее можно представить в виде разности положительных неубывающих ограниченных функций ^ifx) и <Р2 (2^)j причем каждая из них стремится к нулю при у —У 0.
Нам достаточно доказать, что интеграл
в
n 2 f sin Au , R=-I <p\[u)-du
tt j u
стремится к нулю при А -> OO.
Сначала из условия Iim <pi (u) = О имеем, что существует число
и-+о
h > О такое, что при всех |u| < h справедливо неравенство <pi (u) < ?/8. Представим R в виде R = R\ + R2, где Ri и R2 — интегралы от той же подынтегральной функции, что и интеграл R, но переменные интегрирования у них изменяются в других пределах: у Ri они изменяются от О до h, а у R2 — от /і до 5.
По второй теореме о среднем при некотором k, О < к < Л, имеем
IjRiI =
—<pi(h) [ ——du = — <pi(h) [ —-du
7Г J u it J u
Ah
Ak
<
оо
<
—tpi(h) f ШUdu = (p\(h)
7Г Jtt
є
<8-
529 Далее, при фиксированных к и В в силу интегрируемости функции ^1M из леммы Римана следует, что R2 —У 0 при. А —у оо. Поэтому существует число Aq такое, что при А > Ao
в
2 f SinAti
|Яа| = - / SPiH--
ТГ J и
h
Таким образом, получим
OO
IfлЫ~ /(X0)I= I J v(U)
sin Au
du < є,
u
о
следовательно, lim /д(жо) = f(xо).
Теорема 2 доказана.
Замечание. Пусть f(x) 6 L'. Тогда из теоремы 1, в частности, следует, что если, кроме того, функция /(ж) является кусочно-гладкой в некоторой ^-окрестности точки жо, то выполняется условие Дини, поэтому интеграл Bs существует, а следовательно, интеграл Фурье функции /(ж) В точке Жо сходится К /(ж о). Из теоремы 2 следует сходимость интеграла Фурье в точке жо к /{жо), если абсолютно интегрируемая функция /(ж) в некоторой окрестности точки жо является не только абсолютно интегрируемой, но и кусочно-монотонной.
