Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 152

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 201 >> Следующая


+оо / +оо

F(x) =^J е** J /(і)е-^ dt dy

— оо V- do

522 Определение 1. ^Функция F(x) называется интегралом Фурье или интегральной формулой Фурье.

Если строго регулярная функция \f(x)\ интегрируема по Риману (в несобственном смысле) на всей числовой оси, то интеграл gi(y) сходится равномерно на (—оо,+оо) по признаку Вейерштрасса и можно доказать возможность предельного перехода при I —> +оо. Исходя из этого дадим следующее определение.

Определение 2. Функция

оо

9(У) = / We-***

-OO

называется преобразованием Фурье функции f(x), причем интеграл д(у) понимается в смысле главного значения по Коши. Функцию же F(x) называют обратным преобразованием Фурье функции д(х).

Заметим, что, как правило, имеет место равенство F(x) = f{x).

Кроме того, следует сказать, что часто вместо "весовых" коэффициентов 1 и 1 /(2тг) в функциях прямого и обратного преобразований Фурье берут коэффициент 1Д/2ТГ. Ясно, что от этого вид интеграла Фурье не меняется.

Для примера найдем преобразование Фурье функции (I > 0)

1/(2/), если -1<х<1, f(x) = <{ 1/(4/), если х = —1,х = 1,

О — в остальных случаях.

Имеем

oo і

д(у) = J f(t)e~iytdt = J e~iytdt =

sin Iy -t

Для обратного преобразования Фурье отсюда получим

оо



В частности, при х = О имеем

1 1 f sin Iy

W

W = Ti = II

dy.

523 Таблица 1

Дх), область ее определения р(х)
1 '2, -OO < X < +оо, V2 т нормальное распределение e-y't2
2 Г Xfat если х 6 [0, а], I O1 если О ? [0, а], равномерное распределение «а у
3 j 1/{2а), если X Є [-а, а], I 0, если X ? [—а, а], равномерное распределение зіп ау ау
4 /1(1-1!1)' если *Є[-а,а], ^ 0, если X & [—а, а], треугольное распределение „ 1—соз ау і-з—т*-
5 1 1-со.а* оо < X < +OO к ах2 ' f 1 - -?1, если у € [-а, а], [ 0, если у ? [-а, а]
6 P^xt-1C-*, X > Of ? > 0, гамма-плотность 1 (1-і»)*
7 Ie-NI1 _оо < X < +оо, двустороннее показательное распределение 1 1 + У5
8 -оо<х<+оо, *>0, распределение Коши e-'lvl
9 е_х • * > 0, < > 0, бесселева плотность (l - іу - ч/(1 - 1-у)2 - l)
10 00<Х<+00, гиперболический косинус і cfa («гу/2)

Приведем таблицу часто встречающихся прямых и обратных преобразований Фурье [31].

В правом столбце таблицы указаны плотности f(x) распределения

OO

вероятностей, т.е. функции f(x) с условиями f(x) > 0, f f(x)dx = 1.

-OO

Преобразование Фурье от функции распределения вероятностей называется характеристической функцией. Класс характеристических функций среди всех преобразований Фурье выделяется тем, что различным распределениям вероятностей соответствуют различные характеристические функции (теорема единственности), а также тем, что последовательность распределений вероятностей (Fn) сходится к распределению вероятностей F тогда и только тогда, когда последовательность соответствующих характеристических функций сходится к непрерывной предельной функции (теорема непрерывности). Эти важные теоремы теорий вероятностей мы здесь доказывать не будем,

524 так как они выходят за рамки нашего курса.

Перейдем теперь к формулировке и выводу достаточных условий представимости функции в виде интеграла Фурье. Эти условия аналогичны соответствующим условиям Дини и Дирихле - Жордана для рядов Фурье. При их доказательстве мы будем опираться на свойство непрерывности преобразования Фурье д (у) и его стремление к нулю при у —У оо.

Обозначим через L1 = L'{~~oo, +00) класс функций, абсолютно интегрируемых по Риману на (—оо, +оо) и являющихся строго регулярными на любом конечном отрезке.

JI е м м а 1. Пусть функция / Є L'. Тоща ее преобразование Фурье д(у) является непрерывной функцией на всей числовой оси EL

Доказательство. Интеграл д (у) равномерно сходится на E по признаку Вейерштрасса, так как функция j/(x)j является мажорантой для его подынтегральной функции e%yxf(x).

Рассмотрим сначала случай, когда f(x) непрерывна на М. Тогда функция <р(х,у) = etyxf(x) является непрерывной для всех точек (х, у) Є ffi2. По теореме о непрерывности равномерно сходящегося несобственного интеграла функция д(у) в этом случае будет непрерывной.

В общем случае для строго регулярной функции f(x) можно указать непрерывную функцию h(x), отличающуюся от f{x) только в некоторых малых Sn-окрестностях точек X = хп разрыва функции /(аг), причем h(x) представляет собой линейную функцию с условием

j \f(X)~h{x)\dx<~.

\x-xn\<6n

Следовательно,

ОО

J \f(x)-h(x)\dx<?~.

— OO

Положим

оо

gi(y)= j h(x)eiy*dx.

— 00

По доказанному выше 51 (у) является непрерывной для всех у Є IR. Поэтому существует такое число S > 0, что для любого h с условием |Л| < S справедливо неравенство

|Д$іІ = ЫУ + Л)-ЫУ)| < f

• 525 Оценим сверху модуль величины Ag — д(у + h) — д(у). Имеем

OO

I< \Луі\ + 2 J \f(x) - h(x)\dx < ? + 2 ¦ I = ?.

— CO

Следовательно, g(y) непрерывна для всех у Є Ш. Лемма 1 доказана.

JI е м м а 2 (лемма, Римана). Пусть f(x) Є L [а, 6]. Тогда при у —у ос имеем

9(У) = J ftzyv'dz -+О.

Д о к a з a тел ъ с т в о. Сделаем замену переменной интегрирования х = t + Получим
Предыдущая << 1 .. 146 147 148 149 150 151 < 152 > 153 154 155 156 157 158 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed