Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Обратим внимание на то обстоятельство, что степень многочлена Qn(х) вовсе не обязательно будет равна номеру п, но этого нам и не требуется.
Итак, при всех х Є Io имеет место неравенство
I</(х}-Qn(X)I <?=Л. Отсюда следует, что Qn(x) д(я) при п -у оо.
/о
Теорема 2 доказана.
§ 11. ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
Используя свойства ядра Фейера, вычислим значение интеграла Дирихле. Очевидно, имеем
оо 2 оо
'=/(^>-=-/-49=
О 0 '
. « 4-ю °° oo
2 sin X cos X1 f sin X , —-dx = I -dx.
X Jx
о 0
Далее, делая замену переменной интегрирования х = Ny, N > О, получим
OO 2 V OO 2
ff sinx\ , 1 f /sin ArX \ ,
' = J(Ir) <* =
О о
Ч
517 т/2 оо
= 1/(? + =
N J \ x J N J x2
О т/2
n/2 2 ?г/2 оо
= Jf J (??) dx+:H Jsin2Nx^jdx + ЦІ'
О 0 тг/2
где |0| < 1.
Поскольку справедливы следующие формулы для ядра Фейера:
? * 9 ' *
1 / sin JVar
N \ sinx
Л Г 1
-J = 2тгЗД2х), I Fn{x)(Ix =
из предыдущего равенства имеем
тг/2
г тг вг f x2- sin2 Xj 20 1Л , ^
'=2 + N НыРГ^ + Ш'
-2 2
Функция интегрируема по Риману на [0, следовательно,
Устремляя iV к плюс бесконечности, получим, что / = тг/2.
Докажем еще две формулы, дающие представления для функций Тг/ sin 7ГХ и тг ctg тгх в виде простейших дробей. Для второй из этих функций такое разложение было получено ранее с помощью разложения функции sin ах в ряд Фурье. Здесь мы используем интегральное представление некоторой тригонометрической сум*&іьі и свойством коэффициентов Фурье строго регулярной функции стремиться к нулю с возрастанием их номера к бесконечности.
Имеют место следующие две формулы:
к
1) тг/sib7rx= lim Yl (~1)п/(ж ~~ п)>
к^oo п = _к к
2) TrctgTTX= lim Yl 1 /{х~п)-
fc^00U = -Jt '
Докажем формулу 1. Для этого рассмотрим функцию
, , V—\ (—1)" sin ТГХ 9к{х) = > -
—^ г — п
X-Jl п = -к
518 Имеем
к , к 1
»(») = E = E і / =
п = —к nzz — k
1/1 4 1 HtlSinTrt (І+1/2)
= f / (E ^ = f /
Є
sin 7ГІ/2
dt =
і
і/
sin iri (к + 1/2) ,
COS 7rt Ж-:-—-dt.
sin wt/2 -1
Так как имеет место соотношение
і
Iе"
.. ( 2, если ' п = О,
*ltndt =
О, если ті ф 0, п Є
-і
то
1 1Zfc
е-"4" Л = 2.
} simrt (fe+1/2) = f / Л У Sin ^/2 У ^
Отсюда получим
, і
/Л * /„ , ,SinTTt (А: +1/2)
т - Л(X) - J J (1 - coBirt«) g ^ =
-і
і
. .. 7г<х sin л-f (А; + 1/2) , sin —---4--J-Ldt =
2 sin (Trt/2) -і
і
/7Гtx ( TZt \
sin2 ___ f ctg — sin (TrArt) + cos (irkt) J dt
-l
_ , , . 9 TTtx TCt . . о 7TtX .
= 2Tr6fc(sin — ctg y) + 2ffafc(sm —). Следовательно, при к —у оо имеем
7г-^(х)-» О,
т.е. при X^S получим
7Г Г-Г (—1)П
--= Iim } --—,
sm 7ГХ А:-+сю л—* X — П п——к
519 или, в другой форме записи,
і 00 Ж 1 V^
~-= " + !З
!1П TTT T
(-1)"-?
2 — <г2 ¦
Sin ЖХ X *—* П* — X п = 1
Формула 1 доказана.
Заметим, в частности, что при х = ^ получаем следующее выражение для числа тг:
OO
тг = 2 + 4^
(-1)
П — 1
4 п2- 1
Tl — 1
Докажем теперь формулу 2. Для этого рассмотрим функцию
Mx)- Z^ -•
', X — п п = — к
Найдем интегральное представление суммы Д(х). Имеем
Л(х) = V =Y ж h««~>A =
»t?* х~п п=-к I1
/1 ( Jl \ г p-2nitk _ p2wit(k+l) j.*. ^ =, j , _ ;„, dt=
_1 Vn=S-Ic /
1 1 Jwitg sin nt(2к + 1) _ / 0 8Іптг<(2* + 1)
У sm 7г< у
2тгёа:-г--dt
sin TTt
-1 о
1/2 1
. / simrt(2* + 1) ^ , 0 / sin7rt(2*+l)
= 2п I cos2wtx-г--dt + 2ir / cos2tttx----dt =
J 81П7Г< J sin "ЇЇІ
= 2./
1/2
1/2
sin irt(2k -f 1) ,
cos 2 TTtx-e--Л+
Sin 7Г<
O
O
, о / о / , ,чвіяя-^гл+ і) ,
+2тг I cos 27гх(к + 1)-н--du.
J sm 7ru
-1/2
520 Кроме того,
1/2 1/2 , Ч
J sm^kJl)dt = / (E е-) dt = і.
-1/2 -1/2 ^n '
Аналогично выводу формулы 1 получим, что функция
fk(z) — + COs2nx) выражается в виде линейной комбинации коэффициентов Фурье
6fc(sin2 7rtxctg 7Г<),
бде(sin 7rxusin7rx(« + 2) ctg тг«), бд.(sin Tcxusin 7Tx(u — 2) ctg wu)
и коэффициентов а* от тех же функций, но не содержащих множителей ctg Trt и ctg іти. Эти коэффициенты стремятся к нулю с возрастанием их номеров к бесконечности. Следовательно,
,. fk(x) ^ 1 jt(1+С08 2тгяг)
hm -—-— = hm > -= -—--- = Trctg тгх.
k-+oo sm 27га; к-*оо ' х — п sm27TX
п = — к
Формула 2 доказана. Лекция 26
§ 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Пусть /(х) является периодической функцией с периодом 2тгI и разлагается в сходящийся ряд Фурье. Тогда имеем
OO
/(*) = CfceliT,
fc = — oo
где
ж і
1 / .У Ч ikt ,
Ск = ы! me~^dt
-ПІ
Обозначим через у^ величину к/1, и пусть
9і{ук) — J me-^dt.
-nl
Тогда функция f(x) представляется в следующем виде:
1 °° 1
№ = ? 9іІУк)еіукіj-
к = —оо
Последняя сумма представляет собой формальную бесконечную интегральную сумму Римаї/а с шагом А* = 1 /I для интеграла
OO
•оо
где
Tfl
(у) = j /Ще'*»dt.
91
-Tri
Если в интеграле Fi(x) .формально перейти к пределу при I —у оо, то получится повторный несобственный интеграл вида
