Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Развитый нами аппарат теории разложения функции в тригонометрический ряд Фурье позволяет, наконец, достаточно просто вывести формулу, представляющую синус в виде бесконечного произведения. Для этого сначала докажем не менее известную формулу разложения котангенса на простейшие дроби.
На отрезке [—тг, тг] рассмотрим функцию д(х) = cosaz, где а < 1/2 — некоторое фиксированное число. Продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом 2тг. Тогда функция д(х) будет четной и непрерывной на всей вещественной оси R. Поскольку д(х) является непрерывной и кусочно-гладкой функцией на 7, ее ряд Фурье равномерно сходится на / к ^(ж). Поэтому для всех х € / имеем разложение
aO ( kxir . кхп\
, ч «О / Кхп I . кх
'{?.) = — + ( ak COS —--Ь bk sin -j
к--1
где ак и Ьк — коэффициенты Эйлера - Фурье.
Далее, в силу четности функции д(х) все Ьк равны нулю, а для коэффициентов afc при а ф 0 имеют место равенства
тг
O0.JL [
2 ~ 2тг J
Sin опт
COS Ocxdx = -
atг
— TT
2а sin an
(ік ' ......
= — [ cos ах cos kxdx — 1)^
т J
G2 — к2 7Г — тг
509 Таким образом,
оо
. . sinaTT I 1 ^fc 2а
д(х) = cos ах =- - + > (-Ijw-T-— cos кх
7г сН — Ar
Отсюда при х = тг получим
OO „ п
COS С*7Г
Tt--
1 г—г 2а у л 1
= TTCtgQTTг=-+> ——~~ = Iim > -
Q ^—' — Kii п-юо А—' а —
sin ая- _ ,
к-1 fe=-n
Последняя формула и дает классическое разложение котангенса на простейшие дроби. Отсюда легко получить представление синуса в виде бесконечного произведения. Для этого заметим, что ряд справа сходится равномерно относительно параметра а при О < ]с*| < поскольку имеет мажоранту вида Yl^/к2. Более того, поэтому он является производной своей первообразной.
С другой стороны, имеем
(
, sin па \' 1 In- I = тт ctg WOe--,
a Ja а
, Л "aY 2а 1 1
In [ 1 - — j = --г = -- +
к2 J а2 — к2 а —к а +к
Следовательно, в силу непрерывности функции Inx при некотором с Є M справедливо равенство
sin ТТЛ A1 0t2\
In-— с + hm ) ml—— =
а п-юо ' \ і'2 і
n / 2 \ оо ,
кz=l 4 ' к = 1 4
Jt = I
2
к2 J'
Это значит, что при всех а с условием О < |а| < | имеет место формула
sin тга -г-г Ґ t*2\
- = eiHl1-Fj'
где Cl = ес.
Заметим, что бесконечное произведение в правой части данного равенства сходится равномерно по а при |а| < Поэтому, переходя к пределу при а —У 0, находим с\:
7г = lim Sin Wa = сі lim TT f 1 - = Ct.
cr-Ю a a—»-о -tlV к2 j
510 Окончательно имеем
OO /
Sin 7Га _ J-T / Qf \
= II Vі" F; ' к-1 4 7
Таким образом, формула представления синуса в виде бесконечного произведения доказана.
§ 9. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА И РЯДЫ БЕССЕЛЯ
Пусть планета M движется по эллипсу, в фокусе которого находится неподвижная планета F. Полуоси эллипса соответственно равны а и 6, а > Ь. Пусть T — время полного оборота планеты M вокруг планеты Fi a t — текущее время, отсчитываемое от положения планеты в точке Ai находящейся на большой полуоси. Обозначим через Safm площадь сектора эллипса AFM. По закону Кеплера имеем
Safm а ^abt
TST = T- ге- s*™ = —
Рассмотрим окружность с центром в точке О, находящейся в центре эллипса, и радиусом, равным OA = а, и обозначим через Mi точку на окружности, являющуюся образом точки M при проекции на большую ось эллипса параллельно малой его оси. Положим также
OF
є=——, U = ZAOMi. OA
Из геометрических соображений найдем площадь сектора эллипса AFM. Поскольку эллипс получается аффинным преобразованием из окружности сжатием по оси Oy в ~ раз, то имеем
Ь
Safm — -Safm1 ¦ а
Далее находим
Safm1 = Saom1 - Sfom1 — ^a2U - -a2esinu.
Следовательно,
Safm = у (u -esinw).
Мы приходим к уравнению Кеплера
и — є sin и = = С = ZAOM. T
511 Величина С называется средней аномалией планеты, и — эксцентрической аномалией. Если величина С увеличивается на 2тг, то и величина и увеличивается на 2тг. Поэтому cos пи, sin пи являются 2л--периодическими функциями от С, т.е.
cos (nu(C + 27г)) = cos (тги(С)).
Ранее было доказано, что и(С) — гладкая функция. Следовательно, ряды Фурье функций cos nu(C) и sinn«(C) по признаку Липшица сходятся. В силу нечетности функции U(С) будем иметь
GO
COS пи = + Oi COS С + «2 COS 2С 4-...,
2
sin пи = 6i sin С + 62 sin 2С + • - -,
JT тг
2 f If..
аи = — I cos пи cos 6„ = — / sin пи sin ^CrfC•
о о
Теперь вычислим коэффициенты Фурье этих функций. Имеем
тг тг
2 [ 2 [ ао=—1 cos nudQ = — I cos пи (1 — ecosu)du.
о о
Здесь мы воспользовались тем, что
C = u-?sinu, (/C=(I-CCosu)^ti.
Таким образом,
I О,
При и > 1 получим
если п = 1,
«о = Srt
если п > 1.
2 f
аи = — I cos пи cos и
* J
о
2
= -— COS пи sin VС TT и
C=O 1Г"0
2п І • ГА
I sm nu sm vQau =
к
2п Г
~ m/ I ^00s ~ ~~ COS ^nu + vQ)du =
512 TT
= — f cos ((n — is)иvє sin и)du — ^^ f cos ({n + — fesin u)du TTU J TTV J
о 0
= ^ {Ju-n{ue) - Ju+n{ue)),
где
1С
If
Jk{x) = — I cos (ж sin y? — k(p)d<p. 0
