Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Ы®) -92(Х)\ < Єї.
Отсюда имеем
IM*) - 92{х)\\ = \JJ (gi{x) - g2(x))2dx < yjJ e\dx = єх.
Пусть теперь 0 = ?о<^і < • • • < tk < 1 — все возможные точки разрыва функции д2(х) на промежутке [0,1). При n = определим
функции <рп(х), периодические с периодом 1 и задаваемые на отрезке [0,1] условиями
Il при fn_і < X < <п, 1/2 при -x = <n_i, x = tn} 0 в остальных случаях.
Тогда, очевидно, при некоторых постоянных Ofi,..., ock имеет место равенство
к
п = 1
489 Но ранее было установлено, что
V>n(«) = *n - *»-! + Ро(х - <n-l) - ро{х - <п). Поэтому при некоторых ?o,?l> ¦¦¦,?k имеем
к
92{х) = /? + E ?npo{x - <п).
п = 1
Кроме того, раньше было доказано, что
\PQ{X - tn) - Sm(x - <n)| < Rm(x - *„),
где m > 4 и
m sin 2irkx
'm
= 1 7r^ \/l + m2 sin2 7ГХ
Следовательно, справедлива оценка
к
\92(х) - Qm(X) I < |A»|Am(x - tn)>
n = l
где Qm(x) = /? + E &nsm(x - <n)-
n — 1
Применяя неравенство Коши, отсюда получим
2 к к
Isr2W - Qm(X)I2 < Yl 1А.|Ят(* - '») < E ft E r2^x ~
^n= 1 / n = l Tl=I
Интегрируя это неравенство по отрезку [0,1], в силу периодичности функции Rm(x) находим
к к 1
IЫх) - Qm(X)Il2 - f Ых) - Qm(x)?dx < E/? E / R^X ~ t^dx
{ Ti = 1 n = l{
к 1/2 к 1/2 „tt п/ v'l+".»«.*« - Ь mI і + "»'«'-
" " dt
тЬ
n = l n
+ *2 - m1
0
490 где А — некоторая величина, не зависящая от т. Далее, используя неравенство треугольника, получим
'і Л1'2
JЫх) - Qm(x))2dx J = Hflf2(X) - Qm(X)H = Sm < < IItfiW - ы*)|| + IM*) - Qm(X)Il < + (?)'"
Но тогда, производя замену переменной интегрирования вида х = t/(2n) и полагая Pm(t) = Qm(t/(2n)), имеем
о
= 5 ^ Jm - PmW)2 dj = jiwo -^(Oii2-
Следовательно,
1/2^
IWO - MOII < v^ Ui + (?)
Очевидно, что функция Pm (t) является тригонометрическим многочленом порядка т. Кроме того, при Є\ = є/4 и т > 8А/є2 имеем неравенство
откуда окончательно получаем |W0 ~ ^m (011 ? є- Лемма 1 доказана.
JI е м м а 2. В условиях теоремы 1 для тп-го многочлена Фурье 9п(х) функции д(х) справедливо соотношение
IIAmII = IW*) ~ 0т(®)|| 0 при Tl У OO.
Доказательство. Ввиду свойства экстремальности коэффициентов Фурье для любого тригонометрического многочлена рп(х) порядка п имеет место неравенство
IW*) -Sn(Z)II <IW*} -Pn(Z)II-
491 В силу того же свойства при всех натуральных к имеем
IW*)-<№(*)-Ы*)11.
поскольку при п = к + 1 многочлен Фурье <7fc (х) можно рассматривать в качестве тригонометрического многочлена рп(х).
Теперь при произвольном є > 0 рассмотрим многочлен Рт(х) из леммы 1. Тогда, полагая По(є) = гп, мы при всех п > т = по(є) получим неравенство
M*) -9п(х) І! < Ik(X) -^-!(X)H < Ib(X)-^m(X)II < IHx) - Pm(X)U < 5.
Это означает, что при п —> оо имеем ||Л„|| —> 0. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 1. Как было показано ранее, достаточно доказать, что
OO k-l
где Ck = (д, /k) = 7 Jo*' g{x)fk{x)dxt /і(х) = , а при > 1 имеем /2? = cos kx, f2k+1 (х) = sin kx.
Кроме того, при доказательстве леммы 1 мы установили, что при любом п Є N справедливо равенство
[д,д) - І9п,9п) = {д -дп,д-9п) = [hn,hn).
По лемме 2 имеем (hn,hn) —> О при п —)¦ ос. Поэтому, переходя к пределу в последнем равенстве, получим
n OO
{д,д) = Mm {дп,дп) - Hm V = Гі
П—ЮО пчоо ' *
* = 1 Ar=I
Тем самым теорема 1 доказана.
В заключение заметим, что для того, чтобы любая полная ор-тонормированная система функций в линейном пространстве V со скалярным произведением была замкнутой, необходимо и достаточно, чтобы пространство V было полным относительно нормы, определяемой этим скалярным произведением. Другими словами, V должно быть гильбертовым пространством. Доказательство последнего утверждения не слишком сложно, но оно выходит за пределы нашего курса.
492 § 4. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
РЯДОВ ФУРЬЕ
Мы уже говорили о том, что не всякий тригонометрический ряд вида
обязан быть рядом Фурье некоторой функции даже в том случае, если он сходится при всех вещественных значениях х. В качестве примера можно указать ряд
По признаку Дирихле он сходится во всех точках х вещественной оси, но можно доказать, что он не является рядом Фурье какой-либо функции.
С другой стороны, теорема Рисса - Фишера утверждает, что если
2
СХОДИТСЯ ЧИСЛОВОЙ ряд S= 4f + XlnLl (an +&n)> ^0 существует функция д{х), коэффициентами Фурье которой являются числа ап и Ьп. Кроме того, тогда по теореме Карлесона сумма ее ряда Фурье существует "почти всюду" и равна д{х). Не касаясь здесь этих весьма сложных вопросов, остановимся на доказательстве следующих утверждений.
Теоремаї. Если коэффициенты сп(/) и сп(д) рядов Фурье строго регулярных функций f(x) Є W2ir и д{я) Є W2ff совпадают, то f(x) — д(х) при всех вещественных значениях х.
Доказательство. Коэффициенты Фурье с^ (/і) разности этих функций, h(x) = f(x) — д(х) Є W2n, удовлетворяют соотношению cjc(h) = Cfc(Z) — Ck(д) '= 0. Поэтому в силу равенства Парсеваля справедливо равенство
^P /п(г) = ~ + cosnx + bn sin nx)
