Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
<(9,д), где Ck = (<7,Д), Af=I,...,
Jt=I
Доказательство. Рассмотрим функцию
т
9т ~ 9т(х) = J]] Ckfk(x).
Jfc=I
Положим h — hm(x) = g(x) — gm(x). Тогда получим
TTl s ^
[gmyfn) = ^cfe(/fe,/n) = I "
при n < m, при n > m;
fk f \ ( t\ / c„ при n > m,
(nm}fn) = cn - (gm)fn) = <
t О при n < m.
485 Отсюда имеем
(т т \ т т т
) = - Ylck-
fc = l гі — 1 / Ar = In = I Jt=I
Следовательно,
m
i9m,h) = [h,gm) = ?>(</т,Д) = 0.
fc=i
Поэтому
{?,</)•= (tfm + A, 5m + /*) = (<7m,</m) +2((?т,Л) + (Л,Л) =
m
= Um,</m) + (Л, Л) > (tfm,<7m) = ^c*-
Jt=I
Теорема 1 доказана.
Заметим, что попутно мы доказали равенство
m
*=1
Определение 8. Функцию дт{х) теоремы 1 будем называть т-м многочленом Фурье по ортонормированной системе F.
Из теоремы 1 непосредственно следует справедливость двух утверждений, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема2. В условиях теоремы 1:
а) справедливо неравенство
OO
Ec* < Ilfll2 = (f.я); 1
б) cn — cn(g) —У 0 при п —> оо.
Определение 9, 1. Ортонормированная система F = {/„} называется замкнутой, если
oo
IIsii2 = Ec*-
Jt=I
Это равенство называется равенством Парсеваля.
2. Ортонормированная система F = {/„} называется полной в линейном пространстве V, если для любой функции g Є V с условием (д, Д) = 0 при всех k QN выполняется равенство (д, д) = 0.
486 Утверждение 1. Всякая замкнутая ортонормированная система функций является полной.
Доказательство. Предположим противное, т.е. будем считать, что (д,д) > 0, но с* = с^{д) = 0 при всех к Є N. Тогда в силу замкнутости ортонормированной системы функций имеем
О <(*,*) = ?<?($) = О,
что невозможно. Утверждение доказано.
ТеоремаЗ (свойство экстремальности коэффициентов Фурье). При любых вещественных ai,..., ат справедливо неравенство
m
9 ~ Y0k^k Jb=I
<
m
g - Y<*kfk к = 1
ГДЄ Cj, . . . , Cm — коэффициенты Фурье по системе функций F = {/*}.
Доказательство. Снова воспользуемся равенством XhmJk) = (g — gmJk) = 0, справедливым при всех к < т. Получим
т
9 -Yak^k
к = 1
І9 ~ 9т) + Y(Ck ~ 0tk^k
к-1
m
m
9- 9т\\2 -f ~ak)fk
9-Y
fc=l
Теорема 3 доказана.
m
+ Yicк - <*к? >
Jls = 1
Jfe = I
m
у -Y °к?к
Jt=I Лекция 26
§ 3. ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
ФУНКЦИЙ
Нашей целью является доказательство равенства Парсеваля для ортогональной тригонометрической системы функций
Fo = {fk{x)} = I COS X, sin X1 . . . , COS ПХ, SHl 71Ж, . . . I .
Теоремаї (теорема Ляпунова). Тригонометрическая система Fo замкнута в пространстве И^*- Другими словами, для любой строго регулярной и 2тг-периодической функции д(х) имеет место равенство Парсеваля вида
2* ,2 «
« А '2. ^
іу /(,ух
n
где коэффициенты ak и bk определяются через д(х) по формулам Эйлера - Фурье.
Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что если первую функцию /і(ж) = ^b системе Fo заменить на h\(x) = , то система Fo преобразуется в систему F2, ортонормированную относительно весового коэффициента х = Точнее, получим систему функций F2 = причем если к = 1, то /іі(ж) = если же к = 2tl, то
hk(ж) = /i2n(x) = cos nx; а если к = 2n + 1, то = ^2n+i(x) — sinnx.
Коэффициенты Фурье Ck функции д(х) по системе Fi при к = 1,2,... связаны с величинами ак и 6? следующими равенствами:
а0 = сі%/2, ак = C2Ic, h = с2*+ь * = 1,2,...,
поэтому равенство Парсеваля можно записать в виде
2*
(9,9) = 1 [ Я3№ =
fi
г2 скі
что согласуется с определением замкнутости ортонормированной системы, данным нами ранее.
Доказательство теоремы 1 опирается на две следующие леммы.
488 JI е м м а 1. Для каждой строго регулярной функции д{х), периодической с периодом 27Г, и любого є > О найдется тригонометрический многочлен Pm (х), удовлетворяющий условию
||«,(х)- Pm(X)II <є.
В терминологии гильбертовых пространств это означает, что тригонометрические многочлены {Рт(х)} являются всюду плотным множеством в линейном пространстве W = W2rr по норме гильбертова пространства L2.
Доказательство леммы 1. Рассмотрим далее функцию <7i (х) = д(2кх). Она имеет период / = 1 и тоже является строго регулярной. Точки разрыва Xi,..., хп этой функции разбивают отрезок / = [0,1] на интервалы /],...,/„. На каждом из них функция д\(х) является непрерывной и имеет левый и правый пределы. Следовательно, на каждом интервале Ik функция д\(х) равномерно непрерывна. Это значит, что при любом в\ > 0 интервал Ik можно разбить на конечное количество непересекающихся промежутков так, чтобы колебание функции д\(х) на каждом из последних не превышало Є\. Теперь рассмотрим функцию д2(х), которая является непрерывной на любом из указанных промежутков и равна на нем значению функции д\(х) в его центре. Будем также считать, что в смежных точках этих промежутков gi (х) равна полусумме своих пределов слева и справа. Тогда очевидно, что д\ (х) является кусочно-постоянной и строго регулярной функцией, причем при всех вещественных X справедливо неравенство
