Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Для каждой пары функций f(x) и д(х) из этого множества W зададим функционал T(f,g) по формуле
і
T(f,g) = xj f(x)g(x)dx.
о
Здесь X > 0 — произвольное фиксированное число, которое назовем весовым коэффициентом.
482 Перечислим ряд свойств, которыми обладает функционал T(f,g).
1°. Симметричность, т.е. T(f,g) = T(g,f).
2°. Билинейность, т.е. при любых а и ? Є M и f,g,h Є W
Ttf, otg + ?h) = aT(f, g) + ?Ttf, h).
3°. Положительная определенность, т.е.:
а) T{fJ) > 0 при всех / Є W;
б) Ttf, f) > 0, если только f(x) отлична от нуля хотя бы в одной точке.
Последнее неравенство следует из того, что если f(xо) = Уо ф О, то либо левый предел 1\, либо правый предел I2 этой функции в точке Xq отличен от нуля, и тогда при некоторых є > 0 и S > О для всех точек левой или правой ^-полуокрестности точки Xq справедливо неравенство |/(я)| > є. Следовательно,
і
T(f, f) = * J f2{x)dx > н&е2 > O1
о
что и означает справедливость утверждения 36).
Другими словами, билинейный функционал T = заданный
на декартовом произведении H = WxW, можно рассматривать как скалярное произведение, определенное на пространстве W. Поэтому вместо символа T(f,g) можно писать просто (/,#).
Определение 5. Функциональная последовательность Jn (г) Є W называется ортогональной системой функций, если при всех m ф п имеем (/п,/т) — 0, т.е. /т и fn ортогональны между собой.
Если при ЭТОМ ДЛЯ всех П 6 N выполнено условие y/(fn, fn) — 1, то эта последовательность называется ортонормированной системой функций
Напомним, что величина \/{f, f) = ||/|| называется нормой функции f(x) относительно введенного нами скалярного произведения. Заметим, что одновременно это число является нормой функции f(x) в пространстве L2 всех функций, заданных на отрезке [0,1], квадрат которых интегрируем по Лебегу на этом отрезке. Известно, что функциональное пространство L2 удовлетворяет аксиомам гильбертова пространства. Однако ввиду того, что понятие интегрируемости по Лебегу осталось за пределами нашего курса, этого вопроса далее мы касаться не будем.
Итак, ортонормированная система функций — это такая функциональная последовательность /п(ж) Є W, все члены которой взаимно ортогональны и норма каждого члена равна единице.
483 Определение 6. Число сп = сп(д) = ifn,g) называется коэффициентом Фурье функции д(х) € W по ортонормированной систе-
OO
ме функций F = {/п}- Функциональный ряд XI сп/п(х) называется
п = 1
рядом Фурье функции <7(я) по ортонормированной системе функций F.
Введенное понятие и есть общее определение ряда Фурье по ортонормированной системе функций.
Конечно, коэффициенты Фурье Cn можно вычислить и для функций <7(х), не обязательно входящих в W. Например, для интегрируемых
на / = [О,/] в собственном или даже в несобственном смысле, если
/
только все интегралы /fn(x)g(x)dx существуют. И в этом случае
о
Ряд Х!сп/п(я) можно было бы назвать рядом Фурье функции <7(2;)
по системе F. Однако такой подход будет вполне оправданным лишь
в том случае, когда функция д(х) принадлежит области определения
введенного нами ранее скалярного произведения. В частности, это
означает, что для этой функции существует ее скалярный квадрат і
= х /92{z)dx. Именно это условие мы положим в основу опре-
O
деления общего понятия ряда Фурье по ортонормированной системе функций F.
Определение 7. Пусть функция д(х) удовлетворяет условию
і
(,9,9) = X J92{*)dx < +00. о
Тогда функциональный ряд ?с„/„(х), где fn{x) є F и Cn = (g,fn), называется "стандартным" рядом Фурье по ортонормированной системе F = {/„}. В случае, когда скалярный квадрат (д, д) расходится, но все коэффициенты cn = (g,fn) существуют, соответствующий ряд Cnfni*) будем называть "нестандартным" рядом Фурье по системе функций F.
Важным примером ортонормированной системы на отрезке [0,27г] относительно скалярного произведения с весовым коэффициентом X = 1 является система функций
_ _ Г 1 COSX sin X cos nx ?innx 1
Если же положить H = 1 /тг, то ортонормированной системой будет система функций
F2 — j^^j=,C08JC,sinx, . . . ,C08nx,sinnx, . . . I .
484 Во втором случае ряд Фурье можно записать в следующем виде:
OO
YJ/n(x) — —/= + cosnx + bn sinnx).
V 2 n=1
По существу, мы получаем определенный ранее тригонометрический ряд Фурье. Легко убедиться, что и рассмотренный выше тригономе-
OO
трический ряд Y smZr является рядом Фурье функции Po (х) по
Tl=I
ортонормированной системе функций
Fs = {1, y/2cos2nx, >/2sin2тех,..., \/2cos 2ппх, \/2sin 2л-nx,...}
на отрезке [0,1] со значением ус = 1.
Аналогично, на отрезке [0, /] при ус = 1 ортонормированной является система функций F\ :
1/2 2тгх /2 . 2тгх /2 2жпх /2 . 2тгпх 1
^'VTcos-'VTsin-' VTcos- VTsm-T- -/-
Ряд Фурье по системе функций F4 будем называть тригонометрическим рядом Фурье по отрезку [О,/].
Для коэффициентов Фурье сп функции д(х) справедлива следующая теорема.
Теоремаї (неравенство Бесселя). Для любой ортонормированной системы F = {/п} и любой функции д(х) с условием (д,д) < +оо при произвольном mE H справедливо неравенство
