Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 140

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 201 >> Следующая


a)s'n(x) = Tn(x) - 1; б)\Тп(х)\ < 2n+ 1; в) JTn(x)dx = 1;

г)Гя(х) = їїі^fgtili

Доказательство. Утверждения a) — в) очевидны. Рассмотрим утверждение г). Имеем

2 cos ах sin ?x = sin (а 4- ?)x — sin (а — ?)x,

откуда следует, что

1 "

T1n(X) = —-:- > 2 cos 2жкх sin 7ГХ =

j. sin TTT А—/

2 sin тгх .

k—-n

1

2 sin itx

(sin *r(2fc + l)x - sin n(2k -l)x) =

fc = -n

_ sinjr(2n -I- l)x — 8Іптг(—2n — l)x _ sin тг(2п + l)x 2 sin nx sin 7ГХ

Лемма 1 доказана.

473 Jl е м M а 2. При О < S < 1/2 справедлива, оценка

4

1/2 1-A с
/ T„(x)rfx = / rn(x)dx
J S J 1/2

yfl + (2n + 1)2 Sin2 7ГS

Доказательство. Tn (г) — функция периодическая с периодом 1 и четная, поэтому

1/2 —6 1-S

J Tn(x)dx = J Tn(x)dx = J Tn{x)dx = A.

S —1/2 1/2

Положим а = 7г(2п +1). Тогда имеем

і-S

і-S

Ifd cos aar

/sin ах __ I Г de sin 7гх a J si

Sin TTX

1 а

1/2

cos ах

1/2

Sln 7ГХ

1-.5 1/2

I-J

-/

1/2

cos ах d1

Sin 7ГХ

/

Заметим, что на участке интегрирования функция sin7rx монотонно убывает, а функция <р(х) = l/sin7rx монотонно возрастает, поэтому <р'(х) > 0. Кроме того, |cosaxj < 1, и при х = 1/2 имеем cos ax = = cos §(2n + 1) = 0. Следовательно,

1 — <5 1-<5

/cos ax d ( —- J = I cos ax<p'(x)dx

\Sin7TX j J

1/2 1/2

<

<

Отсюда, учитывая, что

1-і

j <p'(x)dx

1/2

1

sin 7г6

- 1.

cos ax

1-S

sin vx 11/2

ИІ <

< ІППгУ. имеем 2

a sin irS

Далее, так как функция j/ = sinx/x убывает на промежутке (0, у) и TT$ < тг/2, то имеем

віпячї sin я"/2 _ 2

7Г S TT

1 <Л.

тг^ — тг/2 яг* sin ttJ ~ 2' sin it 8 — 2S

474 Следовательно,

ИІ<

а 26 аб тг(2п + 1)6'

Если теперь ^n + l) — ^ — І' ТО ИІ — а есЛИ 0 < S < ^дп + і) ' то в силу оценки ITn(X)I < 2п + 1 имеем

1-І
\A\ = / Tn(x)dx —
J 1/2

о

Jrn(X)ClX

<

<1- + 6( 2„+1)<1 + 1<1.

Таким образом, справедлива оценка

2

\А\ < min 1,

< 2min 1,

1

<

, asimrSJ ~ ""У'автп SJ + а2 sjn2 ' так как при любых х > 0 и у > 0 имеет место очевидное неравенство

- /1 1 mm I -, - J <

X у J ^/х2 + у2 Лемма 2 доказана.

Доказательство теоремы 1. Значения функций р(х) и ро(х) отличаются только в точках вида х = г, где z — целое число. Проверим сначала справедливость утверждения теоремы для этих точек. Действительно, тогда имеем:

crn(z) = ITn(O) = р(0) - Sn(O) = і < 4 = Яп(0),

rn(z) = г„(0) = ро(0) - Sn(O) = 0 < 4 = .Rn(O).

Если же X нецелое, то (Tn(х) = гп(х) и достаточно ограничиться рассмотрением одной только функции <г„(х). Поскольку обе функции |<т„(х)| и Rn(x) четные и периодические с периодом 1, можно считать, что 0 < X < 1/2. В этом случае имеем

x /

Tn(y)dy = j ( 1 +2cos2тг^у J dy

k=l

k=li

dsm2i:ky irk

= x + Sn (x).

475 Но так как 0 < х < 1/2, то {х} = х и р{х) = 1/2 - {х} = 1/2- х, X= 1/2 — р(х). Следовательно,

X

J Tn{y)dy = i-p(x).+ e„(ar)= --<rn(x),

откуда

1/2 1/2 1/2

<тп(х) = І - I Tn (y)dy =I' J Tn(y)dy + J Tn(y)dy = J Tn{y)dy.

0 Qxx

Теперь для оценки <тп(х) применим лемму 2. Получим

1/2

\<тп(х) \ =

J TnWy

< ! < Jl + (2n + I)2 sin2 -kx

<—,=========== = Яп(х).

V 1 + п Sin 7ГХ

Теорема 1 доказана.

В качестве простого следствия теоремы 1 докажем еще одну теорему.

Теорема 2. При п —У оо имеем:

а) Sn(X)-^0(X);

б) если ? > 0 и I = [6,1 - 6], то sn(x) =4р{х) и sn(x) =$ро(х).

Доказательство. Утверждение а) эквивалентно тому, что последовательность гп(х) 0 при п —У оо. Это действительно так, поскольку го(0) = О при всех п, а если х — нецелое число, то Jcrn(X)I < Яп(х) —> 0. Что касается утверждения б), то оно следует из признака Вейерштрасса, поскольку величина j$rt(x)| мажорируется на / бесконечно малой числовой последовательностью An(<?) = у 4 Теорема 2 доказана.

л/1 +п2 sin2 ЖІ

ТеоремаЗ (формула суммирования Пуассона). Пусть a < b — полуцелые числа, т.е. числа вида z + 1/2, где z — целое число. Пусть функция f(x) имеет производную /'(х), непрерывную на X = [а, 6], \f'(x)\ < М. Тогда при любом натуральном N справедлива формула

N Ь

S= Yl Лп) = ¦ / /W cos2irnxdx+Rn,

a<n<b n——N a

476 . 8 A4" (6 — a) In N \Rn\ < ________

В частности, при N —* оо имеем

OO 6

1^KJ л

S = ]П f(n)~ ІЗ' / f(x) cos 2irnxdx.

a<n<b n=-oc

a

oo

Здесь символ ' означает, что сумма ряда берется в смысле

M=-OO

главного значения по Коши.

Доказательство. К сумме S мы применим формулу суммирования Эйлера. Получим

о о

S = J f(x)dx- J p(x)f'{x)dx.

По теореме 1 имеем

р{х) = sN(x) + (Tjv(x).

Следовательно,

ь ь

S = J f(x)dx - J sw(x)f (x)dx + Rx,

а а

Ь

где Rjs/ = — f (T^(x)f (x)dx. Интегрируя по частям и учитывая, что

а

sjy(a) = sjv(b) = 0, получим

ь ь

J f(x)dx - j sNlx)f'(x)dx =

а а

Ь Ь

= J f(x)dx- f(x)sN (x)\ba + j s'N(x)f(x)dx =

/ f(x)dx + / f(x) ( cos ^Trkx -lid® = і І \k=-N /

477 N Ь

= Ej /(«)

, cos 2тгkxdx.

k = -N

a

Осталось оценить остаток Rn- Применяя теорему 1 и учитывая, что j/ (x)j < М, получим оценку
Предыдущая << 1 .. 134 135 136 137 138 139 < 140 > 141 142 143 144 145 146 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed