Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
a)s'n(x) = Tn(x) - 1; б)\Тп(х)\ < 2n+ 1; в) JTn(x)dx = 1;
г)Гя(х) = їїі^fgtili
Доказательство. Утверждения a) — в) очевидны. Рассмотрим утверждение г). Имеем
2 cos ах sin ?x = sin (а 4- ?)x — sin (а — ?)x,
откуда следует, что
1 "
T1n(X) = —-:- > 2 cos 2жкх sin 7ГХ =
j. sin TTT А—/
2 sin тгх .
k—-n
1
2 sin itx
(sin *r(2fc + l)x - sin n(2k -l)x) =
fc = -n
_ sinjr(2n -I- l)x — 8Іптг(—2n — l)x _ sin тг(2п + l)x 2 sin nx sin 7ГХ
Лемма 1 доказана.
473Jl е м M а 2. При О < S < 1/2 справедлива, оценка
4
1/2 1-A с
/ T„(x)rfx = / rn(x)dx
J S J 1/2
yfl + (2n + 1)2 Sin2 7ГS
Доказательство. Tn (г) — функция периодическая с периодом 1 и четная, поэтому
1/2 —6 1-S
J Tn(x)dx = J Tn(x)dx = J Tn{x)dx = A.
S —1/2 1/2
Положим а = 7г(2п +1). Тогда имеем
і-S
і-S
Ifd cos aar
/sin ах __ I Г de sin 7гх a J si
Sin TTX
1 а
1/2
cos ах
1/2
Sln 7ГХ
1-.5 1/2
I-J
-/
1/2
cos ах d1
Sin 7ГХ
/
Заметим, что на участке интегрирования функция sin7rx монотонно убывает, а функция <р(х) = l/sin7rx монотонно возрастает, поэтому <р'(х) > 0. Кроме того, |cosaxj < 1, и при х = 1/2 имеем cos ax = = cos §(2n + 1) = 0. Следовательно,
1 — <5 1-<5
/cos ax d ( —- J = I cos ax<p'(x)dx
\Sin7TX j J
1/2 1/2
<
<
Отсюда, учитывая, что
1-і
j <p'(x)dx
1/2
1
sin 7г6
- 1.
cos ax
1-S
sin vx 11/2
ИІ <
< ІППгУ. имеем 2
a sin irS
Далее, так как функция j/ = sinx/x убывает на промежутке (0, у) и TT$ < тг/2, то имеем
віпячї sin я"/2 _ 2
7Г S TT
1 <Л.
тг^ — тг/2 яг* sin ttJ ~ 2' sin it 8 — 2S
474Следовательно,
ИІ<
а 26 аб тг(2п + 1)6'
Если теперь ^n + l) — ^ — І' ТО ИІ — а есЛИ 0 < S < ^дп + і) ' то в силу оценки ITn(X)I < 2п + 1 имеем
1-І
\A\ = / Tn(x)dx —
J 1/2
о
Jrn(X)ClX
<
<1- + 6( 2„+1)<1 + 1<1.
Таким образом, справедлива оценка
2
\А\ < min 1,
< 2min 1,
1
<
, asimrSJ ~ ""У'автп SJ + а2 sjn2 ' так как при любых х > 0 и у > 0 имеет место очевидное неравенство
- /1 1 mm I -, - J <
X у J ^/х2 + у2 Лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы 1. Значения функций р(х) и ро(х) отличаются только в точках вида х = г, где z — целое число. Проверим сначала справедливость утверждения теоремы для этих точек. Действительно, тогда имеем:
crn(z) = ITn(O) = р(0) - Sn(O) = і < 4 = Яп(0),
rn(z) = г„(0) = ро(0) - Sn(O) = 0 < 4 = .Rn(O).
Если же X нецелое, то (Tn(х) = гп(х) и достаточно ограничиться рассмотрением одной только функции <г„(х). Поскольку обе функции |<т„(х)| и Rn(x) четные и периодические с периодом 1, можно считать, что 0 < X < 1/2. В этом случае имеем
x /
Tn(y)dy = j ( 1 +2cos2тг^у J dy
k=l
k=li
dsm2i:ky irk
= x + Sn (x).
475Но так как 0 < х < 1/2, то {х} = х и р{х) = 1/2 - {х} = 1/2- х, X= 1/2 — р(х). Следовательно,
X
J Tn{y)dy = i-p(x).+ e„(ar)= --<rn(x),
откуда
1/2 1/2 1/2
<тп(х) = І - I Tn (y)dy =I' J Tn(y)dy + J Tn(y)dy = J Tn{y)dy.
0 Qxx
Теперь для оценки <тп(х) применим лемму 2. Получим
1/2
\<тп(х) \ =
J TnWy
< ! < Jl + (2n + I)2 sin2 -kx
<—,=========== = Яп(х).
V 1 + п Sin 7ГХ
Теорема 1 доказана.
В качестве простого следствия теоремы 1 докажем еще одну теорему.
Теорема 2. При п —У оо имеем:
а) Sn(X)-^0(X);
б) если ? > 0 и I = [6,1 - 6], то sn(x) =4р{х) и sn(x) =$ро(х).
Доказательство. Утверждение а) эквивалентно тому, что последовательность гп(х) 0 при п —У оо. Это действительно так, поскольку го(0) = О при всех п, а если х — нецелое число, то Jcrn(X)I < Яп(х) —> 0. Что касается утверждения б), то оно следует из признака Вейерштрасса, поскольку величина j$rt(x)| мажорируется на / бесконечно малой числовой последовательностью An(<?) = у 4 Теорема 2 доказана.
л/1 +п2 sin2 ЖІ
ТеоремаЗ (формула суммирования Пуассона). Пусть a < b — полуцелые числа, т.е. числа вида z + 1/2, где z — целое число. Пусть функция f(x) имеет производную /'(х), непрерывную на X = [а, 6], \f'(x)\ < М. Тогда при любом натуральном N справедлива формула
N Ь
S= Yl Лп) = ¦ / /W cos2irnxdx+Rn,
a<n<b n——N a
476. 8 A4" (6 — a) In N \Rn\ < ________
В частности, при N —* оо имеем
OO 6
1^KJ л
S = ]П f(n)~ ІЗ' / f(x) cos 2irnxdx.
a<n<b n=-oc
a
oo
Здесь символ ' означает, что сумма ряда берется в смысле
M=-OO
главного значения по Коши.
Доказательство. К сумме S мы применим формулу суммирования Эйлера. Получим
о о
S = J f(x)dx- J p(x)f'{x)dx.
По теореме 1 имеем
р{х) = sN(x) + (Tjv(x).
Следовательно,
ь ь
S = J f(x)dx - J sw(x)f (x)dx + Rx,
а а
Ь
где Rjs/ = — f (T^(x)f (x)dx. Интегрируя по частям и учитывая, что
а
sjy(a) = sjv(b) = 0, получим
ь ь
J f(x)dx - j sNlx)f'(x)dx =
а а
Ь Ь
= J f(x)dx- f(x)sN (x)\ba + j s'N(x)f(x)dx =
/ f(x)dx + / f(x) ( cos ^Trkx -lid® = і І \k=-N /
477N Ь
= Ej /(«)
, cos 2тгkxdx.
k = -N
a
Осталось оценить остаток Rn- Применяя теорему 1 и учитывая, что j/ (x)j < М, получим оценку