Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
469 = (2S+i)ln2+(2S + i)ln . + і + о(І)-
- ^2s + 0 - In2 - Ins + C0 + у/ЇГ. Приводя подобные члены, приходим к равенству
откуда имеем Со = In у/Ът. Теорема 1 доказана.
Отметим, что если снова воспользоваться соотношением
ln(s + a) = Ins + ~ +О (J^j ,
то из теоремы 1 можно получить еще один вариант формулы Стирлинга вида
lnT(s) = + +
В частности, при s = n + 1 отсюда имеем
InГ(п+1) = Inn! = ^n+ ^ Inn + 1 - (n+ 1) + Іпч/^г + О
= n In п — п + In \/2пп + О Следовательно, справедлива асимптотическая формула
которая тоже называется формулой Стирлинга.
Более тщательные вычисления позволяют получать оценку вида О > Я > —1/(24s+12) для остатка R в асимптотической формуле теоремы 1. Этот результат был установлен Гауссом. Он же доказал, что величину в асимптотической формуле для п! можно
заменить 'на евп, где 0 < вп < 1/(12п).
Разумеется, теория эйлеровских интегралов далеко не исчерпывается доказанными здесь утверждениями, однако рамки нашего курса требуют ограничиться рассмотренными вопросами. Глава XVIII РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ
Лекідая 23
§ 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДРОБНОЙ ДОЛИ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ. ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ПУАССОНА. СУММЫ ГАУССА
Эта глава в основном посвящена изучению тригонометрических рядов Фурье. Важность рассматриваемой темы обусловлена той большой ролью, которую играют ее приложения не только в математике, но и в механике, физике и других научных дисциплинах. Во многом это обусловлено тем, что тригонометрические ряды Фурье соединяют в себе особенности как тригонометрических рядов, так и общих рядов Фурье. Заметим, кстати, что при знакомстве с очередным утверждением полезно отмечать для себя, какую из двух указанных сторон теории оно по преимуществу отражает.
Обширность темы не позволяет сколько-нибудь полно охватить в программе курса лекций по математическому анализу даже классические ее аспекты, так что ограничимся наиболее простыми теоремами, отражающими общую ситуацию. В конце главы коснемся также и некоторых вопросов элементарной теории интеграла Фурье.
Сначала дадим основные определения.
Определение 1. Функция Pfl (х) вида.
называется тригонометрическим многочленом степени п или порядка п.
Поясним, почему при определении одночлена "нулевой степени" ао/2 коэффициент а0 берется с числовым множителем 1/2.
Дело в том, что указанная запись позволяет единообразно представить коэффициенты ао, ai,..., an и 6i,..., 6„ в следующем виде:
п
О
О
где k = 0,1,..., п.
471 Определение 2. Функциональный ряд вида
OO
/n (ar) = Y + X^a* cos kx + bk sin кх)
называется тригонометрическим рядом, точнее, формальным тригонометрическим рядом.
Замечание. В определениях 1 и 2 аргумент х может принимать любые числовые значения. Поэтому вместо независимой переменной X можно рассматривать любую функцию х = <p(t). Полученный таким образом формальный функциональный ряд будем также называть тригонометрическим рядом.
Определение 3. Если существует функция д(х) такая, что все коэффициенты Ok И bk тригонометрического ряда Ylfnix) могут быть выражены по формулам Эйлера - Фурье вида
то этот ряд называется тригонометрическим рядом Фурье функции д(х). При этом интегралы во всех формулах могут быть и несобственными.
При изучении тригонометрических рядов возникают, в основном, те же вопросы, что и в случае любых функциональных рядов. Например, для конкретного ряда можно ставить задачу определения области сходимости и функциональных свойств его суммы. Можно также рассматривать вопросы о представлении данной функции в виде тригонометрического ряда, о единственности такого представления, о специальных признаках сходимости ряда в точке и на некотором множестве, о правилах почленного интегрирования и дифференцирования ряда и т.д.
С другой стороны, будут доказаны неравенство Бесселя, равенство Парсеваля и другие утверждения, отражающие свойства общих рядов Фурье. Здесь следует сказать, что коэффициенты ряда Фурье конкретной функции несут в себе полезную информацию о ней даже и тогда, когда ряд расходится. В этом случае существуют различные способы ее извлечения. В частности, большую роль играют здесь методы суммирования расходящихся рядов, о которых упоминалось ранее.
Но сначала разберем один пример, важный для дальнейших приложений. Рассмотрим тригонометрический ряд f(x) вида
о
о
оо
472 Его тї-ю частичную сумму обозначим через sn(x). Определим функции р(х) и ро(х), полагая р(х) = 5 — {х} и
{р(х), если X---нецелое число,
О, если X---целое число.
Функция ро(х) называется функцией Бернулли.
Теоремаї. При натуральном п справедливы формулы
р(х) = S„(x) + <тп(х), ро(х) = sn(x) -I- г„(х),
причем
|(тп(х)| < Rn(X)1 |гп(х)| < Я„(х), где Rn(X) =
v/l + п2 sin2 WX
Доказательство теоремы 1 будет проведено несколько позже, поскольку оно опирается на две следующие леммы. Введем еще одно обозначение. Положим
п
Tn (х) = ^ cos 2тгкх =1-1-2 cos 27гх +----1-2 cos 27гпх.
k~-n
JI е м м а 1. Имеют место соотношения: ^
