Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
.OO ^ _ J
Г(1 - .)Г(.) = -.Г(-.)Г(.) = ; п (1 - " (і+їГ =
n = l
= = «п«=. а
7Г
S2Jn1) sinks'
Второе утверждение теоремы прямо следует из первого. Теорема 4 доказана.
Теоремаб (формула удвоения Лежандра). Справедливо равенство
Г(2.)Г Q) = 2?*-^(.jr (»+!)¦
Доказательство. Составив произведение Fm (s), где
_ 22a~1Pm(g)Pm(s + 1/2) m^ P2m(2s)Pm(l/2) •
464 Выпишем явное выражение для Fm(s). Имеем
Fm(S) =
- - l)!m'(m ~ lj-'m*+1/2 -2s ... (2s + 2т - 1),- \ ... (т - \)
~ (2т - l)!(2m)2i-1(m - \)\mlf2s... (s + т - l)(s + J)...(« + т - J)' что равно 1. Устремляя т к +оо, приходим к равенству
22j'"1r(g)r(s + 1/2) _ Г(2в)Г(1/2)
Тем самым теорема 5 доказана.
Рассмотрим теперь интеграл Эйлера первого рода, т.е. бета-функцию Эйлера.
Определение 1. При а > 0 и ? > 0 бета-функция Эйлера
В(а, ?) задается равенством
і
B(a,?) = J ха-1(1-х)^Чх.
Теорема б. При a > 1 и ? > 1 справедлива формула
Г(а)Г(/?)
B(a,?) =
Г (cc + ?)
Доказательство. В интеграле, определяющем функцию В(а,/3), выполним замену переменной вида а? = у^. Тогда имеем
. _ <*у а—і _ Va"1 п _ _ 1
* (1 + у)2 ' - (1 + у)«-*' "(1 +
OO
у"-1^y
Я(«,/?) = j -
Отсюда следует, что
+ у)а+Р'
о
оо
a— Ii
V-Rtn, Я\Г(„+Й\ / ^-^(а + ^Му
H = В(а, ?)T(a + /?) = J (1 + у)а+0 .
о
Далее, если у > 0, то
OO
Г(а + /?) = J xa+?~l
OO
"-!e-'dx =
465 OO
= (l + y)a+? J xa+?-le~T^+l)dx.
О
Поэтому
оо / оо
= JiJ{xy)a-lx?e~x^+1]dx J dy.
о \0
В последнем интеграле получим
OO / OO
H = J Ij(xy)a~le~xyxdy J Zti-1 Г* dx =
о \0
OO
= Г(сг) J x?-le~xdx = T(a)T(?).
Остается только обосновать перестановку порядка интегрирования. Подынтегральная функция f(x,y) = ya~l xa+?~l е-*^+1) всюду положительна и непрерывна. Кроме того, каждая из функций, т.е. интегралов
OO OO
9ІУ) = J fix, у) dx = y^1 I^XP . hix) = / /К У) dV =
о о
непрерывна и неотрицательна на [0,+оо) х [0,+оо), а несобственные
OO OO
интегралы J д(у) dy и J h(x) dx сходятся. Следовательно, порядок
O Q
интегрирования действительно можно изменить. Теорема 6 доказана.
Замечание. Поскольку гамма-функция T(s) определена при всех s ф 0,-1,-2,..., то формула теоремы б позволяет распространить определение функции B(a}?) на все множество вещественных значений (а,?), за исключением точек (a,?), где либо величина а, либо величина ? равна 0,-1,-2,... . Лекция 26
§ 11. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
Изучение эйлеровских интегралов завершим доказательством важной для приложений формулы Стирлинга, дающей приближенное значение для гамма-функции или для функции п\.
Теоремаї (формула Стирлинга). При s > 2 имеет место равенство
lnl»= ln + 0 ~ In s 4 со 4 R,
где C0 = In л/2тг, а для величины остатка R выполняются неравенства
О > R> -l/(8s + 4). Доказательство. Воспользуемся равенством
lim Pn(s) =T(s).
Tl—к»
Далее имеем
п-1
In Pn (в) = s\nn - Ins +^2 (Ink - ln(fc + s)).
Применяя формулу суммирования Эйлера, получим
InPn(S) = А - В,
где
и —0.5 п — 0,5
A= j (lnx — ln(x 4- s)) dx+s\nn—Ins, В = J р(х) --)
dx.
" ' \х X 4- s J
0,5 0,5
Сначала рассмотрим величину А. Имеем
п — 0,5 п —0,5 п —0,5 n+j-0,5
J In xdx — J ln(x4s)dx = J Inxdx — j Inxdx
0,5 0,5 0,5 5+0,5
467 « + 0,5 n + л —0,5
= J In xdx — J Inxdx = Ai — A2.
0,5 n —0,5
Интегрируя, находим
Ai = (х Inr - ,)1?"'11 = (. + J) In (, + І) - . +
Далее будем считать, что п > 2s. Тогда, применяя формулу In {1 -I- x/n) = 0(х/п), получим
n+j-0,5 j-0,5
sinn — A2 = J (In n — inx)<fx = — J In ^l + dx
n —0.5 -0,5
л — 0,5
-0,5
Таким образом, приходим к соотношению
Ч*+0іпИЬ-іп5+сі+0©-
где Ci — постоянная.
Рассмотрим теперь величину В. Заметим, что неравенство
t
~l< I о(х) dx < О
0,5
г
J р(х) dx <
справедливо при всех t > 0, 5. Поэтому по признаку Дирихле интеграл
OO
f dx сходится. Следовательно,
0,5
гН-0,5
B1= J ^dr = са+ о(1).
0,5
Для оценки величины
1+0,5
X + S
B2 = I M-dx
0,5
468 применим вторую теорему о среднем. Тогда получим
t
А = TTOT51р(х) dx<
O1S
откуда имеем — < B2 < 0. Но по определению имеем В = Bi — B2, Следовательно, из равенства In Pn (5) =A-B вытекает соотношение
In Pn(s) = (s + 0 In (s + і ) - (5 + ^ - In s + C0 + B2 + О (^j .
Здесь со — некоторая абсолютная постоянная.
Устремляя п к бесконечности, мы приходим к равенству
9
85 + 4'
где в = 0(s) — некоторая функция с условием 0 < в < 1. Осталось вычислить значение константы Cq . Для этого применим формулу Лежандра. Тогда при s —> оо будем иметь
(25 - 1) In 2 + In Г(в) + 1ц Г ^8 + = In Г(2в) + In Г Q^1
+(5 + l)ln(« + 1)-(«+ l)-ln ^5 + 0 + C0 +О (^j +(2s- 1) In2 =
= (2s + 0ІП ^25+ 0 - (2s+ 0 - In(2s) + C0 + In V^+ о Qj . Далее воспользуемся соотношением
Получим
In (s + a) = In s + J + О
(s+0ins+>+o(i)-(s + i)+Co-i„s+
(9-
+(s +l)lns +1+ О - -(5+ 1) +C0-In S+ (2s- 1)1п2 =
