Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
оо
д'(у) = — J е~ух sin xdx.
о
459 Последний интеграл можно вычислить путем интегрирования по частям. При этом получим
'M = -TTF-
Итак, мы показали, что функция д(у) непрерывна на У = [0,iV], а ее производная д'(у) существует при всех уф 0 и равна —1/(1 4-у2). Отсюда по формуле Ньютона - Лейбница при всех у Є (О, N] вытекает равенство
у
Г dt
9{у) = g(N) - J = g(N) + arctg N - arctgy.
м
Пользуясь непрерывностью функции д(у) в точке у = 0, мы получим у(0) = lim д(у) = lim (д(N) + arctg N - arctg у) =
J/-+0+
= g(N) + arctg N.
Теперь, устремляя N к +оо, приходим к соотношениям arctg N тг/2,
OO OO
Sinxjj f _Nx, 1 л ' е dx = — -> 0.
IsWI < J.-"^dx< J
N
Отсюда следует, что
D = д(0) = lim (g(N) + arctg АГ) = тг/2.
N-?0О
Теорема 1 доказана.
Непосредственно из теоремы 1 вытекает справедливость следующего утверждения.
Следствие. При всех а Є IR имеет место равенство
D(a) = ^ ¦ signa. Лекция 26
§ 10. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
Гамма-функция Эйлера, которая была определена ранее, и бета-функция, определение которой мы дадим ниже, называются соответственно интегралами Эйлера второго и первого рода. Начнем с дальнейшего изучения свойств гамма-функции.
Теорема 1 (формула Эйлера - Гаусса). При s ф 0, — 1, —2,... имеет место равенство
Г(в)= lim Pm(s),
m—Voo
где
Pm(s)-
s(s+ l)...(s + m- 1)
Доказательство. Применяя формулу Эйлера, получим выражение для Г(в) :
ІПЛ + ІУЛ + І)-1, Bln іпГі + іу-Сі+^Г1 =
s V п i \ П/ m-voo 5 V ti } \ п/
п = 1 v ' п—1 4
= Iim І(1 + 1)\..Л + _ЦУ(1 + І)"1...Л + _1^)"1 =
m—юо 5 у m—1/V 1 / \ m — IJ
= lim nm(s).
m-+OG
Теорема 1 доказана.
T e о p e м a 2. (формула Гаусса). При s > 0 в обозначениях теоремы 1 справедливо равенство
sm m
Pm„W = (i + l) /(1-? t'-'at.
О
Доказательство. С помощью замены переменной и интегрирования по частям получаем
j m m 1
0^)/(1-? '--=^+1)-/(1 —'
х)тх"Чх =
461 і
= (m + l)4^ J{І- х)т~1хЧх = •¦¦ =
о
і
= (m+ I)4---- [ x'+m~^dx =
v ' s(s + 1).,.(5 + т- 1) J
о
ті
= (т + 1)' ' ^ , = Pm+i(s).
5(5 + 1).. .(5 + т)
Теорема 2 доказана.
Имеет место следующее Представление гамма-функции в виде несобственного интеграла.
ТеоремаЗ (интегральное представление для гамма-функции Эйлера). При s > 0 справедливо равенство
OO
л — 1л — x
Г (S) =Jx
е Xdx.
Доказательство. Прежде всего заметим, что при s > 1 рассматриваемый параметрический интеграл является несобственным интегралом первого рода, а при О < 5 < 1 он имеет особую точку X = 0. Но в обоих случаях он сходится, поскольку в окрестности нуля подынтегральное выражение мажорируется функцией ж4-1, а на бесконечности — функцией е~ХI2.
Рассмотрим разность Rm($), где
т ^
RrnM = J*'-le-rdz-Pm+1(8)(l + ^ =
т
В силу выпуклости графика функции giy) = ev — 1 — у при всех у имеем 1 + у < еу, поэтому неравенства
1 + ?<<;*/», (і + -Г<
n ~ V п/ ~
еТ
и
Tl ~ \ Tl) ~
справедливы при всех вещественных X и натуральных п.
462 Кроме того, заметим, что из неравенства Бернулли при 0 < у < 1
следует, что (1 — у)т > 1 — ту, т.е. 1-(1- у)т < ту.
2
Отсюда при 0 < г < m и у — ^ получаем оценки
«^--O-S'-'-O-'O-=)")^
= e-a?(l — (1 — y)m) < е~хту
e~xx2
m
Ho тогда величина Rm(S) оценивается так:
т оо
.s + l^-xr
/ s + Ie-X 1 р
--dx < - / x* + le~xdx.
т т J
о
Здесь s + 1 > 1, и поэтому последний интеграл сходится, откуда О < Rm(s) < , где As — некоторая величина, зависящая только от параметра s. Следовательно, Zif7l (s) —> О при m —^ оо. Отсюда окончательно имеем
оо m
f Xs-1C"* dx= lim fxs-le~xdx =
J тчоо J
О О
= lim (*„,(«)+ Pm+i(«) (l+ -M ) =0+Г(*)-1 = Г(«).
т-юо N4 \ т J J
Теорема 3 доказана.
Замечание L Идея изложенного доказательства теоремы 3 высказана Шлемильхом (1879).
Замечание .2. С помощью интегрирования по частям из теоремы 3 выводится следующая формула Коши, справедливая при всех значениях s вида —(m + 1) < s < —т, где m Є N :
OO
T(s) = J x'-^e-'-^x^dx,
т
где<рт(х) = ?
n=O
Здесь условия, наложенные на $, обеспечивают сходимость несобственного интеграла, имеющего две особые точки: X = Q и х = -+оо.
463 Действительно, в окрестности особой точки х = 0 подынтегральная функция эквивалентна величине
xs+m
(~l)m+1 (m + 1)!'
а в окрестности точки х = +оо является величиной порядка o(x'*+rn-1). Отсюда по признаку сравнения следует сходимость интеграла.
Далее нам потребуется представление функции sin Trs в виде бесконечного произведения. Приведем его в качестве следующей леммы, которая будет доказана при изучении рядов Фурье.
JI е м м а 1 (лемма Эйлера). При всех вещественных нецелых s имеет место формула
sin W = Wnf1-JJ
Teope м а4 (формула дополнения Эйлера). При всех нецелых s справедливо равенство
T(I-S)IX =-Д-.
Sin 7Г5
В частности, Г( 1/2) = у/ж.
Доказательство. Из формулы Эйлера и леммы 1 имеем
