Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Утверждение 1. Если в сходящемся ряде ап некоторые группы слагаемых заключить в скобки, то его сходимость не нарушится и сумма не изменится.
Доказательство. Любая формальная расстановка скобок в бесконечной сумме Yl ап приводит к новой бесконечной сумме вида
(ai ч-----h afcl) + (afcl+i +----ь ак2) + ¦•• = &! + &2 + ¦ • ¦ ,
где при S = O5I,... имеем Ья = ?!/?,.!+1 + • ¦ • H- ак, и io = 0.
Очевидно, что последовательность {i?j} частичных сумм ряда Yl^s не что иное, как подпоследовательность частичных сумм ряда
Y2 CLn ¦ Но так как всякая подпоследовательность сходится к тому же пределу, что и сама последовательность, то для Ak А имеем, что Bs = Aks -> А при s —у оо, .что и требовалось доказать.
Пример сходящегося ряда (1 — 1) + (1 — 1) + ¦ ¦ • = 0 + 0 + ¦ • • = 0 показывает, что обратное утверждение не всегда справедливо. Однако имеет место, например, следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть ряд, составленный из скобок, сходится к сумме В, точнее, пусть Yl^n — В, где bn = (uni + • • • + ank), причем к фиксировано, и пусть каждая из к последовательностей является бесконечно малой, т.е. ans -» 0 при пЧоо и всех S = O,...,/:. Тогда в ряде Yi bn можно раскрыть скобки. Другими словами, ряд
an + O12 + • • • + aik + a2i + • ¦ ¦ = + d2 + •¦¦•+• dk + dk+i + • • * ,
где fifc(n — i)+s = anj, сходится, причем к той же самой сумме, что и ряд ^bn.
Доказательство. Оно тоже очень просто вытекает из свойств, сходящихся последовательностей. Действительно, для
376 частичных сумм Dn и Bm рядов JZ и J^fem при п = km имеем равенство
Dkm = Bm —>¦ 5 при т —У оо.
Заметим, что разность ccn = Dn -Dkm при m = [п/к] и s = п — km равна
Ocn — dkm+1 + • ¦ ¦ + dkm+s = ^m1I +----H Um,s ¦
А так как Ctniii при любом s = 1,.., ,к — бесконечно малая величина при m —» оо, то поскольку m —> оо при п —ї оо, имеем
1<*п| < \amtl I +----f- Mm.sj < KntI I +----Ham,n| О,
ап -> О, Dn =^ Dmk +ап ^ В + 0 = В.
Утверждение доказано.
Заметим, что если в некоторых скобках содержится менее к слагаемых, то можно подразумевать вместо отсутствующих слагаемых нули. Другими словами, доказанное утверждение справедливо и в этом, несколько более общем, случае.
Более сложным является вопрос о произведении числовых рядов. Нам потребуются новые определения.
Определение 1. Занумеруем каким-либо образом счетное множество пар (m,n) натуральных чисел тип, т.е. поставим каждой паре в соответствие свой номер к. Тем самым мы получим две последовательности: m = m(k) an = принимающие натуральные значения. Такую нумерацию будем называть линейной нумерацией пар. Если теперь J2an и Yl^n — Два числовых ряда и hk = am(k)bn(k); то ряд
OO
Y hk будем называть их произведением, отвечающим данной ли-
к = 1
нейной нумерации пар индексов (т, п) или данной'перестановке попарных произведений ambn.
Задача (теорема Штейница). Пусть {сп} — последовательность, составленная из векторов к-мерного пространства Rk (к > 2). Пусть для любого вектора / Є Rk, f ф 0, ряд an, где — ^cn,
/п) -
скалярное произведение векторов Cn и /, условно сходится.
Требуется доказать, что для всех b E Шк существует перестановка
m
OO п
Определение 2. Ряд hn, где hn = J2 a^n-k+i, называется
n = l Jfe=I
формальным произведением (или просто произведением) двух рядов Х>п И J2 bTI-
377 Теорема 1« Если оба ряда. ап и Ybn абсолютно сходятся, причем an = Л, a Ylbn = В, то при любой перестановке попарных
OO
Произведений ИХ членов ряд hk абсолютно сходится к сумме AB.
k- 1
Доказательство. Зафиксируем какую-либо перестановку попарных произведений .k (т(к), п(к)). Докажем сначала, что ряд Yl hk сходится абсолютно. Пусть Hk — последовательность частичных сумм ряда Y J^* I и пусть г — какой-либо номер. Тогда имеем
г
H1r = У^ Iam{k^n(A)I •
Положим mo = maxm(Ar), no = maxn(/:). В этом случае, очевидно,
к<г к<г
г то По
к = E I ¦ їм*) I < E м E їм < А'в'і
Je = I к-1 к = 1
где Л' = 2>„|, В' = EIW-
Таким образом, частичные суммы ряда Yl I ограничены в сово-
OC
купности, а это значит, что ряд Yl ^fc абсолютно сходится к некоторой
Jt=I
своей сумме Я. Но тогда при любой перестановке его членов сходимость не Нарушается и сумма не изменяется. Переставим эти члены так, чтобы при любом к = п2 частичная сумма Hk имела
вид Hk = (at +----b ап) (Ьг +----1- bn) = AnBn. Тогда при п оо
будем иметь Hn2 —AB. В силу сходимости ряда Y, ^k последовательность Hk его частичных сумм сходится к Я, и так как Hnз — подпоследовательность Hkl то H = AB.
Итак, если абсолютно сходятся оба ряда ^an и Ylbn, то сумма произведений рядов равна произведению их сумм.
В общей ситуации на такое равенство рассчитывать не приходится. Действительно, если ряд ^an сходится условно, а в качестве Y bn взят простейший ряд вида ^ = 1+ 0 + 0+ -- , то, исходя из определения, можно убедиться, что их произведение, отвечающее некоторой перестановке пар (т, п), дает ряд ]Г] с„, являющийся некоторой перестановкой ряда Y ап • Но согласно теореме Римана при перестановках такого ряда его сумма может измениться.
