Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 111

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 201 >> Следующая


Зафиксируем некоторое є > 0. Пусть п\ настолько велико, что А' — A1ni К є. Тогда при любом п > п\ для остатка rn = А — An ряда Y ап имеем оценку

ы

OO

E

к=п + 1

ак

OO

< ? M-At-Afni <?.

Jc=M1 + !

Пусть теперь п2 таково, что среди чисел er (1),O-(U2) содержатся все целые числа отрезка [1, тії]. Положим m = гпах (сг (1) ,<т (лг)). Тогда при всех n > Ti2 имеем

п

п

Bn = Y^bk = Ya^k)

Ar=I

H1 ™

Ea* + Ґ

а к.

Ar = I

A = I

А=щ + 1

Штрих в последней сумме означает, что некоторые слагаемые в ней опущены. Для этой суммы, очевидно, имеют место оценки



m

к= m + l

т

J2' ак К X' M = Atm-AlllKAt-A1niKe.

к=П 1 + 1

Отсюда следует, что при всех Tl > Tl2

\A-Bn\K\A-Ani\ + \Bn-Ani\ К (/-An/) + {л'- АПі) < 2є.

В силу произвольности выбора є > О это означает, что Bn А при п со, т.е. ряд Y^n сходится к Y^n = Ya"- Отсюда, в частности,

373 следует, ЧТО И ряд Yl IM СХОДИТСЯ К сумме А', Т.е. ряд Yl ^n сходится абсолютно. Теорема 1 доказана полностью.

Основное отличие в свойствах абсолютно и условно сходящихся рядов обнаруживается при перестановке их членов. Как показывает теорема 1, бесконечная сумма абсолютно сходящегося ряда в этом случае ведет себя точно так же, как и конечная сумма, т.е. при перестановке слагаемых сумма не изменяется. Гораздо более сложная ситуация имеет место для условно сходящегося ряда. Тем не менее, она достаточно полно описывается следующей теоремой.

Теорема2 (теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда). Каково бы ни было вещественное число Ai найдется сходящаяся перестановка ? Ьп условно сходящегося ряда ? ап такая, что Yl^n — А.

Доказательство. Для простоты будем считать, что ап ф 0 при всех п. Сначала в ряде Yl ап выделяем все положительные слагаемые рк и отрицательные слагаемые — gi, нумеруя их индексами к и I в порядке следования в ряде Yl ап- Затем составляем перестановку Ylbn ряда ^an : в качестве Ь\ берем pi, если А > 0, и —gi, если А < 0. Подчеркнем, что все рк и qi положительны.

п

Далее мы добавляем в общую сумму Yl ^m очередные слагаемые

т=1

по следующему правилу: если сумма не превышает А, то добавляем очередное положительное слагаемое 6„+i = pkl, а если она превосходит Л, то добавляем очередное отрицательное слагаемое 6n+i =:—gj,. В результате этого сумма все время колеблется вокруг значения А, причем размах колебаний постепенно убывает до нуля, и в пределе для суммы ряда Yl ^n мы получаем требуемое значение А.

Для того чтобы доказательство теоремы было полным, достаточйо в приведенной схеме обосновать только некоторые ее моменты.

Докажем, что оба ряда YlPk и расходятся. Действительно,

если бы оба они сходились, то исходный ряд Y^ ап сходился бы абсолютно, а если бы один ряд расходился, а другой сходился, то частичная сумма ряда Yl ап > составленная из двух частичных сумм рядов Yl Pk и Yl Qi соответственно, тоже расходилась, что неверно. Далее заметим, что поскольку {рк} и {—gi} являются подпоследовательностями для {an}, Pk —> 0 при к оо и — qi 0 при I —> оо.

Для определенности будем считать, что А > 0. Тогда по построению ряд 6П имеет такую структуру:

У] bn = pi + • • • + - Я1-----qh +

^ "-V-' S-V-'

Pi Qi + Pk1+! + ¦¦¦ + Pk2 - Ql1 + !-----Ql3 + ¦ • • .

N 'S, S і...... v ......

P2 Qa

374 Здесь числа Pi, P2,.. -, Qi, Q2, ¦ • обозначают суммы подряд идущих слагаемых одного знака в ряде J^bn. Количество групп слагаемых одинакового знака в этой сумме бесконечно, так как в противном случае ряд Yl^n отличался бы от YlPk или от Yl і~Яі) лишь конечным числом членов, и тогда он расходился бы к +оо или к —оо соответственно. Но это не имеет места, так как по построению величина частичной суммы Sn ряда на каждом шаге изменяется в направлении приближения к числу А, если только sn ф А, В силу этого, в сумму Yl Ьп войдут все числа рк и ~qi, а следовательно, и все ап, т.е. Yl^n — действительно перестановка ряда Yl ап-

Теперь оценим разность rn = sn ~ А. При всяком п член ряда Ьп в зависимости от своего знака попадает в одну из сумм Pm или Qm. Следовательно, мы имеем одно из равенств: Dn — рк или оп — —(ц.

По построению ряда Yl^n величина гп меняет знак в том случае, если bn = ркт или bn = ~qtm. Тогда в обоих случаях имеет место оценка

К\ - \sn-A\ < |6nj.

Для всех прочих п при добавлении очередного слагаемого |гп| значения частичной суммы Sn от числа А убывает, поэтому тогда справедливо неравенство |гп| < |rn_i|. Следовательно, всегда имеем

|sn - А\ < Pkm + qim + qin-x •

Здесь номер m можно рассматривать как монотонно стремящуюся к бесконечности функцию от п, и поэтому для последовательности dn, где dn = Pkm+4lm +9/m_!, в силу того, что рк и qi О при к и / -> оо. имеем dn —»¦ О при п -4 оо. Отсюда при п —> оо окончательно получим rn = sn — А —> О и Sn-^A Теорема 2 доказана. Лекция 22

§ 7. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ

РЯДАМИ

Мы уже встречались с некоторыми действиями над числовыми рядами такими, как почленное сложение, одновременное умножение всех членов ряда на одно и то же число, перестановки членов ряда. Все эти действия будем называть арифметическими операциями над рядами. Кроме того, здесь мы рассмотрим и другие математические операции, а именно: расстановку и раскрытие скобок, а также операцию умножения рядов. Начнем с наиболее простого — с расстановки скобок.
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed