Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Теорема2. Всякий ряд Лейбница ]Р an сходится.
Доказательство. Покажем сначала, что всякий отрезок
п+р
этого ряда мажорируется модулем его первого члена. Пусть Yl ат
т.—п + 1
— некоторый отрезок ряда. Мы хотим доказать неравенство вида
Кроме того, при всех к числа имеют один и тот же знак.
Следовательно, при четном р = 2г имеем
О < |an+i H-----1- a«+2r+i| = (hi - b2) H-----Ь (&2r-i - b2r) + b2r+i =
= bi - (b2 - b3)-----(b2r - b2r+i) <bi = |an+i| •
Таким образом, в обоих случаях действительно
Но теперь, так как Ьп+1 —у 0, мы при любом наперед заданном є > О и достаточно большом п имеем
откуда в силу произвольности р, исходя из критерия Коши, заключаем, что ряд Yl ап сходится. Теорема 2 доказана.
п+р
т=п + 1
Положим bk = при всех к Є N. Тогда
+ a*+i[ = |ajt| - \ак+і\ = Ьк - Ьк+І < Ьк.
0 < |an+i + an+2 H-----H an+2r-i + «n+2г| =
= (Ьі - Ь2) + ¦ ¦ ¦ + (Ь2г-1 - ъ2г) =
= bi - (b2 - b3) -----(&2r-2 - ?>2ґ~і) - b2r < bi = |an+i
Если же p = 2r + 1 нечетное, то
Tn,p < bn+1 < є,
369- T е о р е м а 3 (оценка остатка ряда Лейбница). Для остатка г„ ряда Лейбница ^an справедлива оценка |гп| < |an+i|.
Доказательство. Согласно теореме 2 ряд ^an сходится, поэтому
OO
м = Xl °п
m=n+l
Заметим, что при доказательстве теоремы 2 для любого натурального р нами получена оценка
П+р
E
m=n+l
< |an+i| •
Устремляя р оо, получаем требуемое неравенство. Теорема 3 доказана.
§ 5. ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ И ДИРИХЛЕ
Признаки Абеля и Дирихле применяются при доказательстве достаточно широкого класса числовых рядов общего вида. Доказательство обоих признаков основано на формуле дискретного преобразования Абеля, которую мы сейчас докажем.
к
T е о р е м а 1. Пусть Ak = Дт ¦ Тогда при M > N имеют
m=JV+l
место формулы:
M M-1
йкЬк — АмЬм + X Ak{bk-bk+1); (1)
fc=jV+l k=N+\
Af M
^jT акЬк = АМЪМ+! + ^ Ak (Ьк - 6fc+i). (2)
k=zN.+ l k=N+l
Доказательство. Заметим прежде всего, что правые части формул равны между собой, так как, вычитая правую часть формулы (2) из правой части формулы (1), получаем
АмЬм - АмЬм+і - Am (ЬМ - Ьм+1) — 0.
Следовательно, достаточно доказать только формулу (1). Преобразуя ее правую часть, имеем
M-1 M-I M-1
ЛмЬм + E Ak (bk - bk+\) = АмЬм + E Akbk- ^ Akbk+i =
k=N+l k=N+l k=N+1
370- M M M
- A{bl = AN+lbN+l + Yl {Ak — Ak-i) bit =
k=N+1 (=N+2 k=N+2
M M
— алг+і&лг+і + ^ aitbk = ^ а^б^.
k=N+2 k-N+1
Тем самым теорема 1 доказана.
Признаки Абеля и Дирихле применяются к рядам вида Yl anbn-
Теорема2. Справедливы следующие утверждения.
(А) (признак Абеля). Если последовательность оп монотонна и ограничена, а ряд ^ an сходится, то ряд Yl anbn также сходится.
(Д) (признак Дирихле). Если последовательность bn монотонна и bn 0 при п-+ оо, а последовательность Sn частичных сумм ряда ограничена, то ряд Yl anbn сходится.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая, когда bn > 0 и bn убывает. Все прочие случаи легко сводятся к данному следующим образом. Если bn < 0, то надо изменить знаки у всех ап и bn. Если же bn то bn надо представить в виде bn = 6о — dn, где &о = lim bn, и свести теорему к исследованию ряда
п-юо
Здесь уже имеем (Іп 4-
Доказательство теоремы проведем, применяя критерий Коши к ряду YlaTibn- Для этого применим формулу (1) преобразования Абеля к отрезку этого ряда. TniP. Используя обозначение Ak = Sk — Sn и учитывая, что bk — bk+1 > 0, получим
\Tnjt I =
п+р
akbk
k=n +1
n+p-1
An+рbn+p + Ak(bk-bk+1) k — ti + l
<
n+p-1
< |An+p|6n+p-f max \Ak\ T^ (bk - bk+i) <
n<k<n+p ,
k=n +1
< max Hfcj6n+1.
n<«<n+p
Рассмотрим теперь случай (А). Поскольку bn ограничена, при некотором с > 0 для всех п имеем |&n+i| < с. Далее, так как ряд ап сходится, то для любого є > 0 найдется номер по (е) такой, что при всех п > «о (є) и к > ті имеем
Hfcl =
а
т
= \$к - Sn| < M + I«n I < Є-
m=:n + l
371- І^п.рІ = X) akbk
k=n +1
Ho так как є произвольно, а с фиксировано, то последнее неравенство означает, что ряд ^an 6П удовлетворяет критерию Коши и поэтому сходится. Тем самым признак Абеля доказан.
В случае (Д) ограничены частные суммы Ak ряда Y ап> и поэтому существует с, для которого < с при всех к. Кроме того, 6„ —> 0. Следовательно, при произвольном є > 0, достаточно большом п > по (є) и произвольном р > 1 имеем оценку
Отсюда, как и в случае А, заключаем, что по критерию Коши ряд Yanbn сходится. Теорема 2 доказана полностью.
п+р
к=п + 1 Лекция 22
§ 6. ПЕРЕСТАНОВКИ ЧЛЕНОВ РЯДА
Определение 1. Пусть <7 : N —>¦ N — взаимно однозначное отображение натурального ряда на самого себя. Тогда ряд bn, где bn = (lain)) называется перестановкой ряда Y ап ¦
Теорема 1- Любая перестановка Y 6П абсолютно сходящегося ряда Yl an = А абсолютно сходится к той же сумме А.
Доказательство. Положим
OO
п
п
OO
п
A = ^2an, An = Ylak' Bn = /LA1 А> = Ela*' = X^lflfc!
П = 1
Ar=I
Jt=I
A = 1
к~1
