Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
/(*)>/(«)>/(*+!)¦ Интегрируя это неравенство по указанному промежутку, получим
Jt+l fe + 1 fc+l ¦
/(Jb)= J f(k)dz> j f{x)dx> J dx = f{k + l). к к к
При всяком п > 2 просуммируем эти неравенства по к от 1 до п — 1. Получим
^ Ztx \
Sn-I = "?,№> jf(x)dx>"?f(k+1) = [52№)-№ = Sn-W-к-1 і к=1 Vfc = I '
Далее каждый из двух случаев будем рассматривать отдельно.
00
1. В этом случае интеграл I = f f(x)dx сходится, поэтому при всех
1
п > 2 для частичных сумм Sn ряда Yl f{n) имеет место единообразная оценка вида sn < / + /(1), и поскольку f(n) > О для всех натуральных п, ряд Ylfin) сходится, а вместе с ним сходится и мажорируемый им ряд YlPn, что и требовалось доказать.
365- 00
2. Поскольку в этом случае интеграл f f(x)dx расходится,
1
п
J f(x)dx —> +оо при п оо. Но так как
і
п
Sn > sn„ 1 > J f(x)dxy і
то и sn —^ +оо при п оо. А это означает, что ряд ^/(п) расходится вместе С рядом J^Pn5 ДЛЯ которого первый ряд по условию является минорантой. Теорема 5 доказана полностью.
00
Замечание. Очевидно, что в условии теоремы 5 интеграл J f{x) dx
1
OO
можно заменить интегралом //(ж) dx, где а > 1 — произвольное
а
число.
Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из интегрального признака.
OO
1. Ранее мы доказали, что при $ > 1 ряд Yl Vn* сходится.
п-1
Его сумма обозначается символом ?(5) и называется "дзета-функцией Римана". Дадим другое доказательство сходимости этого ряда. ДеЙ-
00
ствительно, при таких значениях s несобственный интеграл f x~3dx
1
сходится и легко вычисляется. Имеем
00 ^
Г _ х-»+1 00 1
I X *dx= -- =-
J -S+1 J S-I
Следовательно, по теореме 5 ряд Yn" тоже сходится, что и т^ебо-
00
вал ось доказать. Если же s < 1, то интеграл / x~sdx расходится, а
1
OO
вместе с ним расходится и ряд Yl
Cl-I
OO
Замечание. Ряд Yl Vn* ПРИ некоторых значениях s впервые
П = 1
рассматривал JI. Эйлер. Бол^е того, при s, равном четному натуральному числу, он нашел точные значения для его суммы Cis) Позднее Б. Риман определил функцию ?(s) для всех значений аргумента St исключая точку s = 1, причем не только вещественных, но и комплексных. Он детально исследовал свойства этой функции, и поэтому она носит его имя. Дзета-функция Римана играет огромную
366 роль в теории чисел. Относительно некоторых свойств этой функции Риман высказал ряд гипотез, которые давно уже доказаны. Все, кроме одной. Онй, известна как гипотеза Римана о нулях С-функции. На сегодняшний день эта гипотеза вместе с последней теоремой Ферма являются двумя самыми престижными математическими проблемами.
2. Балле Пуссен показал [35], что при s > 1 справедливо равенство
A J_ = M _1_ /_1___
Tis ~ S - 1 + Vna + « - 1 V(n + I)5"1 ^4"1
П=1 П=1 4 V\ /
И
причем ряд в правой части сходится при s > 0. Действительно, общий член рп последнего ряда можно представить в виде
п+1
OCpn= [ ---L UzC J---—
уп J \п' XsJ - п> (п + 1)5
п
Следовательно, ряд YlPn сходится при s > 0. Равенство (*) при s > 1 получим, раскрывая скобки в правой части его и используя при тех же s равенство
1 1 ~ / 1 1
„5-1 П5-1 ХД (п
H Vtn + l)-1
П = 1 v '
3. Опираясь на интегральный признак, исследуем сходимость ряда 2>п, где рп = (w+l)i^(n+1). Имеем
OO OO
7 dx = 7 / = J_
J (z + l)ln2(z + l) J \\nxj In2' 1 2
Т.е. несобственный интеграл СХОДИТСЯ И потому ряд YIp* тоже СХОДИТСЯ. Лекция 22
§ 4. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ.
РЯДЫ ЛЕЙБНИЦА
Мы снова возвращаемся к рассмотрению числовых рядов общего вида.
Определение 1. Ряд Ya" называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд Y \an І-
Ясно, что всякий сходящийся ряд с неотрицательными членами абсолютно сходится. В то же время легко построить сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся. В качестве примера можно привести следующий ряд:
, 111111
-1 + 1---1-----1-----1------ .
2 2 3 3 4 4
Его сумма равна нулю, и в то же время ряд, составленный из модулей его членов, расходится в силу расходимости гармонического ряда.
Определение 2. Сходящийся ряд Y ап называется условно сходящимся, если ряд ^ I an I расходится.
Согласно этому определению, рассмотренный выше ряд является условно сходящимся. Заметим, что про абсолютно (или условно) сходящийся ряд говорят еще, что ряд сходится абсолютно (или условно). Целесообразность введенных понятий подкрепляется следующей теоремой.
Теорема 1- Если ряд ^ ап абсолютно сходится, то он является сходящимся.
Доказательство. По критерию Коши из сходимости ряда Y Kl следует, что при любом є > 0 найдется номер п0 (є) такой, что при всех р > 1 и п > п(е) имеем
tj+p
J2 Ia^i<?'
откуда
п+Р
2 ат
т=п + 1
п+Р
< ^2 Ia^l <?•
т=:п + 1
Но это означает выполнение критерия Коши. Теорема 1 доказана.
368 Определение 3. Числовой ряд Yl ап называется знакочередующимся, если все его соседние члены имеют разные знаки.
Определение 4. Знакочередующийся ряд вида Ylan называется радом Лейбница, если модуль его общего члена Jan | монотонно стремится к Нулю.
