Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 96

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 185 >> Следующая


- - G (г, г2) б (г -T1) -I- G (г, T1) б (г г2). (8.103)

Применим далее теорему Грина

»

f [G (г, г2) р (г) VG (г, г,) - G (г, г,) р (г) VG (г, r2)j da=

S

= -G(FbT2)-I-G(F2jF1). (8.104)

Члены в правой части этого уравнения появились при интегрировании по объему выражения, содержащего б-функцию Дирака. Так как обе функции Грина G (г, г2) и G (г, г2) удовлетворяют одним и тем же граничным условиям на поверхности S, то поверхностный интеграл исчезает, и мы получаем условие

G(TbT2) ---G(F2jF1), (8.105)

которое показывает, что функция Грина симметрична. Отметим, что это свойство симметрии справедливо для функции Грина, удовлетворяющей любому уравнению вида (8.101). В гл. 9 уравнения такого типа названы самосопряженными. На свойстве симметрии основаны различные теоремы взаимности: заряд в точке T2 влияет на потенциал в точке T1 точно так же, как заряд, помещенный в точку Ti, на потенциал в точке г2.

Следует указать, что на применении функции Грина основан метод решения многих более сложных проблем математической физики (см. гл. 16). >

362 г JI. 8. дифференциальны!? ураші ппня второго порядка

Упражнения

1. Положим,

ґ

Sa (*) =

n ^a

О,

-L / . а.

а ' 2 2

О,

OO /*

Доказать, что Iim \ / (х) 6a (х) dx — f (O), если / (х) непрерывна a О J

— OO

в точке X = O.

2. Показать, что 0(гІ5 г2) — егкIГ1_Г2 '/4л; | rt —г2| —функция Грина, удовлетворяющая дифференциальному уравнению:

(Vfrb2)G(TilTl)=---Hri-Tj).

Показать, что G (г4, г2) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению, если rt ^= г2, а для достаточно малого | T1-г2| имеет место

3. Доказать, что 6(/(х)) =

df(x) 1-і.. х

—O(X-X0)1 при условии, что

/=(X0) = O. Указание. Воспользоваться тем, что б (/) df — Ь (х) dx.

4. Убедиться, что в сферических координатах б (T1—г2) имеет вид

-L б (Гі—Г2) б (cos O1-COS O2) б (фі — Фз)-гі

Обобщить это выражение на случай криволинейных координат qit <?2) <7з с коэффициентами Ламе Zi1, A2, h3.

5. Используя представление б-функции (8.85а), показать, что

^ 6 (X) =-б (X). Этот и другие результаты, относящиеся к б-функции Дирака, могут быть доказаны более строго, но зато и более сложными методами математической теории распределения. ГЛАВА 364

ТЕОРИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

9.1. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В гл. 8 мы классифицировали и решали линейные дифференциальные уравнения второго порядка, соответствующие линейным дифференциальным операторам второго порядка общего вида

Xu (х) - /J0 (X) — и (х) ^ P1 (х) -fa U (X) + р2 (X) и (х). (9.1)

Функции р0 (Jf), р{ (дг) и р2 (х) не следует путать с постоянными Pi из разд. 8.5. Сравнение с уравнением (8.51) показывает, что P (дг) = P1 (х)/р0 (х), a Q (х) = р2 (х)/р0 (*).

Коэффициенты Pq (*), р{ (лг) и р2 (лг) — вещественные функции X и имеют во всей области a ^ х^ b непрерывные производные (2 — і)-го порядка. Кроме того, р0 (х) нигде не обращается в нуль внутри открытого интервала а< < X < Ь. Нули функции Pq (*) являются особыми точками (см. разд. 8.3), поэтому предыдущее утверждение просто означает, что интервал (а, Ь) выбран так, чтобы внутри него не было особых точек. Однако вполне возможно, " и часто так и есть на самом деле, что особые точки совпадают с концами интервала.

В теории дифференциальных уравнений удобно определить сопряженный* оператор X:

+ (2 Ро-Рі)^ + (Л-р'1^Р2)и. (9.2)

* Сопряженный оператор в некотором смысле связан Jc'ропря женной матрицей. Смысл такой терминологии уясняется при срав нении самосопряженного оператора (с соответствующими границ ными условиями) с самосопряженной матрицей (подробнее см. разд. 9.2). 364

г ji -а в а д. теория йтурма - лиу&ЙЛЛЯ

Сравнение уравнений (9.1) и (9.2) дает необходимое и достаточное условие того, чтобы Х — Х:

р; W=^r(9.3)

При выполнении условия (9.3)

Su ^ Xu = [р (X) + q (X) и(х), (9.4)

и оператор X называется самосопряженным. Здесь р0 (дг) заменено на р(х), а р2 (дг) — на q (х).

Из дифференциальных уравнений, которые рассматривались в разд. 8.2, уравнения Лежандра и линейного осциллятора относятся к типу самосопряженных, но другие уравнения, такие, как уравнения Jlareppa и Эрмита, не обладают этим свойством. Однако теория линейных самосопряженных дифференциальных уравнений второго порядка носит общий характер, так как всегда можно привести несамосопряженный оператор к самосопряженному виду. Рассмотрим уравнение (9.1) с р'0 = р{. Умножив

X

X на ехр ? ^ ^y dtJ , получим уравнение *



{-'[!-58']?'}+

dx

о

X

+Sf-^tJ-SiMe' (9-5)

которое, очевидно, самосопряженно. Обратим внимание на Pq (х) в знаменателе. Именно поэтому мы потребовали,

* Если умножить X на / {x)/Hq (х), а затем потребовать, чтобы f (x) — fpifpQ (тогда новый оператор будет самосопряженным), то

X

получиМ /(X)-ехр [ j ^iS л]. 9.1. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 365

чтобы ро W -ф— 0 на открытом отрезке a<.x<.b. В дальнейшем везде будет предполагаться, что оператор записан в самосопряженном виде.
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed