Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
б (х)= Iim —Ц- е-*2/«;' (8.85а)
а-у о уап
л а
О, х<. —
б (*) = ІІШ
а~*0
2 '
1, <*<f, (8.856) О, |<*;
« W = Iini І-. (8.85В)
а
б Iim ^^-Iim-^r j еыА. (8.85г)
а-+оо
- - (і
Представления (8.85а) — (8.85в) удобны своей наглядностью. Кроме того, представление (8.856) определяет интегральные свойства б-функции (см. упр. 1). Последнее — (8.85г) обычно используют в анализе Фурье и его приложениях в квантовой механике.
Введенная б-функция Дирака весьма необычна. В действительности она — не функция в общепринятом смысле, а есть лишь точное отражение функциональных свойств (8.82) — (8.84). Следует помнить, что б-фуикция Дирака имеет смысл только как часть подынтегрального выражения и не имеет самостоятельного значения.
Перемещая особенность в точку х — х', б-функцию Дирака можно записать как 6(*-*'). Тогда уравнение (8.84) имеет вид
со
j f(x)o(x-x')dx = f(x'). (8.86)
—00
Для трехмерной б-функции имеем
2я я оо ; / оо
j j J б (г) г2 sin е de d<p ~ J j j 6(x)o(y)6(z)dxdydz=\.
ООО -CO
(8.87) 358 Г Л. 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ второго порядка
Это соответствует особенности (или источнику) в начале координат. Если источник расположен в точке г = п,
а х
Рис. 8.1. Различные представления б-функции Дирака:
а —
VaK
Є-5С>/о. б _ по формуле (8.856); в
1 >1 sin ах
__ . —____ • і _ _
г --
я u2 4- X*
JlX
уравнение (8.87) примет вид
00 г
[ [ J б (г2 - г,) r\ dr2 sin O2 d%<іф2 = 1. (8.88)
—00
Как уже отмечалось,
o (ra — T1) = o (Гі — ra).
(8.89) 8.6. функция грина. аналогия с электростатикой 359
Вернемся теперь к электростатике. Пусть \\> — потенциал, соответствующий заданному распределению заряда и удовлетворяющий уравнению Пуассона:
V2Oj)= _р/в0. (8.90)
Потребуем, чтобы функция ф, которую мы назовем функцией Грина, удовлетворяла уравнению Пуассона с точечным источником в точке г2:
V^=-6 (T1-T2). (8.91)
Физически это означает, что ф — потенциал в точке Ti, соответствующей единичному источнику є0, помещенному в точку г2. На основании теоремы Грина (см. разд. 1.11)
I (i|?V2q) — ф\^2г|?) CfT2= j (8.92)
у S
#
Предположив, что подынтегральная функция спадает быстрее, чем г2, можно упростить задачу, взяв объем настолько большим, что интеграл по поверхности обратится в нуль:
j х\>\\di2 = j ф^2фс(т2, (8.93)
или, после подстановки в уравнения (8.90) и (8.91),
- j^(r2)e(ri-r2)dT2=- j Ф(Г"У(Г2> ar2. (8.94)
Интегрирование с учетом свойства (8.84) б-функции Дирака дает
г|) (rt) j <р (rlf г2) р (T1) di2. (8.95)
Мы использовали уравнение (8.91) для вычисления Т2ф, но при этом сама функция пока еще не известна. Закон Гаусса утверждает, что
J т«(1) dT=
0 —начало координат вне объема К' - 4л — начало координат внутри объема К.
(8.96) »
360 г л. 8. дифференциальныЕ уравнения второго порядка
Этот закон, полученный в разд. 1.13, можно переписать иначе:
^2 ЫгН -6^
или ^ (8.97)
Второе соотношение соответствует переносу электростатического заряда из начала координат в точку г = г2. Здесь T12 = Ir1-г2|, и поэтому 6(^-г2) всюду равна нулю, за исключением точки гі = г2. Сравнивая уравнения (8.91) и (8.97), видим, что функция <р (функция Грина) имеет вид
T С». rI)= 4n|r!-r2| ' (8-98)
откуда, в полном согласии с уравнением (8.81), решение уравнения Пуассона записывается как
* (г.) = T^ J rfr, (8.99)
Отметим, что функцию Грина ф (гь г2) часто обозначают G (гі, r2). С ее помощью в интегральной форме записывается решение дифференциального уравнения. В рассмотренном примере, взятом из электростатики, функция Грина G (п, г2) найдена с помощью закона Гаусса путем сравнения уравнений (8.91) и (8.97). Окончательное решение (8.99) позволяет дать физическую интерпретацию функции Грина. Ее можно понимать как весовую функцию или функцию влияния, которая описывает влияние элемента заряда р (r2) dr2 в точке наблюдения г4. Функция Грина G (гі, г2) описывает потенциал в точке наблюдения Vif который создает единичный точечный источник, помещенный в точке г2.
Функция Грина обладает важным свойством симметрии относительно переменных Ti и г2:
G(VuV2) = G(V2tVi). (8.100)
щ
Это очевидно для только что рассмотренного примера. Данное свойство можно доказать и при более общих условиях. Потребуем, чтобы G (и, г2) удовлетворяла уравнению
V. Ip (V) VG (г, Vi)) + Xq (V) G (г, P1) — б (г T1) (8.101 8.6. функция ГРИНА. аналогия с электростатикой 361
с точечным источником в точке Г — T1. Здесь р (г) и q (г) — произвольные непрерывные функции г. Функция Грина 6 (г*, Г2) удовлетворяет тому же самому уравнению, в котором индекс 1 заменен индексом 2,
V. \р (г) XG (г, г2)1 + Xq (г) G (г, r2) = - б (г - r2). (8.102)
Тогда G (г, т2) — потенциал в точке г, вызванный точечным источником, расположенным в точке г2. Умножим первое уравнение на G (г, г2), а второе на G (г, T1) и вычтем один результат из другого:
G (г, r2) V. [р (г) T G (г, F1)] - G (г, T1) V. [р (г) VG (г, r2)] =
