Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
7. Дано:
, bX с ., сха , axb . , п
а' ——- b ~—г-, Cr = —г- и a-b X с ^=O.
a-bxc' a-bxc а-Ьхс
Показать, что
b' X с'
(х> у —а., Ь, с); a'-b/xc=(a-bxc)~3; a = a.bXc' •
8. Убедиться, что если = (х, у = а, Ь, с), то а' =
=—гхт— (задача, обратная предыдущей). a-DX с
9. Убедиться, что первым этапом при перемножении векторов в уравнении (1.38) было применение правила ВAC-CAB к двойному векторному произведению.
10. Даны три вектора A = і + j, В = j -f— lc, C = і —к. Найти смешанное произведение A-BXС. Имея в виду, что A = B~fC, дать геометрическую интерпретацию смешанного произведения для данных векторов. Найти AX(BXC).
1.6. ГРАДИЕНТ V
Предположим, что <р (.X, у, г) — скалярная функция ,1 точки пространства, т. е. такая функция, значение которой1 зависит от значений координат (л:, у, г). Как скаляр онаа должна иметь одно и то же значение для данной фиксиро-Эанной точки пространства независимо от вращения систе-1' мы координат, т. е.
ф' (x'v х'3) = <p(*i,x2,*3). (1.51)^1.6. ҐРАДЙЕНТ V
31
Дифференцируя по Xi и используя уравнения (1.16), получаем
дд>' *2> xfs) _ dy (xlt X2, Jg3) „ дф дхз _ ^ ду дх[ дх[ Zi dxj ' дх! ~ Zl aV dxj •
j і
(1.52)
Сравнение (1.52) с законом преобразования векторов (1.17) сразу же убеждает нас, что мы построили вектор с компонентами dtpfdxj. Этот вектор мы назовем градиентом ф. Удобно перейти к символической записи
\ (1-53)
или
* о-54)
Тф (читается «набла ф») — это градиент скалярной функции ф, где V (набла) — векторный дифференциальный оператор, введенный для обозначения операции дифференцирования, которая должна быть проведена над скаляром ф. Этот оператор обладает свойствами векторов и подчиняется законам частного дифференцирования.
Пример. Вычислим градиент функции / (г) = / (2 + г/2 + г2)*
В данном случае f (г) зависит от х, поскольку г зависит от х. Следовательно,
df(r)^df (г) dr = df X дх dr дх dr г *
^ к
Подставляя .это соотношение в уравнение для V/ (г), получаем
— ? , V ,. , . .-¦ , V 1 df г df df
где г0—единичный вектор в положительном направлении радиуса-вектора.
Одно из непосредственных приложений ^ф связано с вычислением приращения длины
dr=\dx + }dy + kdz. \ (1.55)
Учитывая предыдущую запись, долучаєм
(V<f)-dr = -^dx+-%L + dy + ^-d2 = d<(, U 1.56)32
г л а & а і. Векторный анализ
изменение скалярной функции ф, соответствующее изменению положения dr. Рассмотрим далее две точки P и Q на поверхности <р {х> у, z) = С. Расстояние между этими двумя точками dr. Тогда при перемещении из P в Q изменение функции на поверхности ф (х, yt z) — С равно
d<p^(V(p).dr = 0, (1.57)
так как перемещение происходит по поверхности ф (х, у, г) — — С. Отсюда следует, что Vcp перпендикулярен к dr. Поскольку dr можно провести в любом направлении от точки
P в Qt лежащую на этой поверхности, а значит, dr всегда остается на поверхности, i|>V<p должен быть перпендикулярен к поверхности Ф — const в любой ее точке.
Если предположить теперь, что dr направлен от одной поверхности ф — Ci к соседней ф = C2, то
^ = C2-C1 = AC = (Уф) - dr. (1.58)
Для данного dq> абсолютная величина | dr j минимальна, если dr направлен параллельно Тф (cos 6 = 1), или, наоборот, при заданном | dr | изменение скалярной функции ф максимально для dr, параллельного Уф. Это определяет Vy как вектор, указывающий направление максимальной скорости изменения функцки Ф (рис. 1.14). Данное опре-1.6. ГРАДИЕНТ V
33
деление градиента будет использовано в гл. 2 при рассмотрении криволинейных систем координат.
Градиент скалярной величины играет очень важную роль в физике при установлении связи между полем сил и потенциальным полем:
^ Сила = — V (потенциал). (1.59)
Это справедливо и для гравитационного, и для электрического поля.
Упражнения
1. Показать, что V (uu) = uVu + wVu, где и и V—дифференцируемые скалярные функции х, у и z.
2. Дана функция S (х, у, z) = (xa+#2+z2)-3/2. Определить в точке (1,2,3) VS, его абсолютную величину и направляющие косинусы VS.
3. Дан вектор ті2—г (Xi-X2)+ і (уі— у?)-^k(Zi-Z2). Показать, что Vir 12 (градиент абсолютной величины векора г12 по переменным -yIi У і» zi) есть единичный вектор, направленный вдоль г 12-
4. Доказать, что условие (V«) X(Vf)=O необходимо и достаточно, чтобы две функции и (я, у, Z) и V (ху г/, z) были связаны соотношением f (U1 Убедиться, что в случае и = и(х, у) и v— — v(x, у) условие (Vw)X(Vf)=O приводит к двумерному якобиану:
ди да дх
у J
du
дх
ду
dv ~ду
:0.
Функции и и V предполагаются дифференцируемыми.
5. Доказать, что (Vu) • (Vf) х (VoO=O-необходимое и достаточное условие того, чтобы три функции и (я, у, Z), V (х, у, z) YlW (х, у, z) были связаны некоторой функцией F (U1 v} w) — 0. Показать также, что смешанное произведение градиентов эквивалентно трехмерному якобиану
J
Ґ и, V, w\ \ X, у, Z )
ди дх dv дх дт
ди ~ду
dv ду дш
ди
W
dv Iz dw
дх ду dz
= 0.
Предполагается существование необходимых производных.