Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
y' + P(x)y' + Q(x)y = 0. (8.13)
Теперь, если функции p (л1) и Q (х) остаются конечными в точке x~x0t то она называется обыкновенной. Однако если либо P (х), либо Q (л") (или обе вместе) расходятся, когда х-* Xlh то точка xQ называется особой.
Запись дифференциального уравнения в форме (8.13) позволяет различать два типа особых точек.
1. Если P (х) или Q (х) расходятся при х-> x0t но произведения (х — х0) P (*) и (х — x0)2Q (х) остаются при этом конечными, то точка х = X0 называется регулярной особой точкой или несущественной особенностью.
2. Если P (х) расходится быстрее, чем 1/(х — х0), так что произведение (х — X0) P (х)-> OO При X ->• х0) либо Q (х) расходится быстрее, чем 11 (х — X0)2, так что (х — Jt0J2Q (х) оо при X-> X0t то точка х ~ X0 называется нерегулярной особой точкой или существенной особенностью.
Эти определения справедливы для любых конечных X0. Анализ точки х ->¦ оо подобен исследованию функции комплексного переменного (см. разд. 6.5). Нужно положить X — Mz, подставить в дифференциальное уравнение, а затем сделать предельный переход z 0. Делая замену независимой переменной и производных, получаем
,dy(x) = dy(r*) dz =__1 dy(z~і) _ ^2 dy (z~і)
dx dz ' dx X* ' dz dz ' * ' '
d2y (X) _ d г dy (x)l dz 2 г 9 dy (z-i) , d*y (z-i)-l _
dx2 "" dz L dx J dx ~ * Z) L dz * dz2 J
= 2 ^ + • (8.15) 8.3. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
335
С помощью этих результатов преобразуем уравнение (8.13)
24 + 12г3 - z*P (г"1)] % + Q (г"1) у - 0. (8.16)
4
Поведение в точке X = оо (г = 0) зависит теперь
2zn—z2P(z~1) о (г-1) от новых коэффициентов --- И v 4 При z 0.
Если обе эти величины остаются конечными, то точка х = оо называется обыкновенной. Если они расходятся, но не быстрее чем 1 Iz и Ilz2 соответственно, то точка X — оо является регулярной особой точкой, в противном случае она будет нерегулярной особой точкой (существенная особенность).
Пример. Запишем уравнение Бесселя
хф + ху'+ [Jfl-^n*) у = 0. (8.17)
Сравнивая его с уравнением (8.13), видим, что P (х) ~ 1 /х, Q(x)~ = 1 — п2/х2, т. е. точка х — 0—регулярная особая точка. Проверкой можно убедиться, что других особенностей в ограниченной области нет. При х->оо(г->0) нужно исследовать поведение коэффициентов
2z3_22.2 1_ffiz^
уравнения (8.16) -т-и -j—. Последнее выражение рас-
ходится, как Ifzit поэтому в точке * = имеется существенная особенность.
Особые точки некоторых наиболее важных обыкновенных дифференциальных уравнений приведены в табл. 8.1. Как видно, первые три уравнения — г и пер геометрическое, Лежандра и Чебышева — имеют три регулярные особые точки. Гипергеометрическое уравнение с особенностями в точках 0,1 и оо может рассматриваться как основное, оно называется каноническим уравнением. Решения двух других в таком случае выражаются через гипергеометрические функции, которые являются решением первого уравнения (см. гл. 13).
Точно так же вырожденное гипергеометрическое уравнение можно считать канонической формой линейного дифференциального уравнения второго порядка с одной регулярной и одной нерегулярной особой точками. Вообще говоря, вырожденное гипер геометрическое уравнение можно рас- >
336 г JI. 8. дифференциальны!? ураші ппня второго порядка
Таблица 8.1
Уравнение Регулярная особенность Нерегулярная особенность
Гииергеометрическое 0,1, OO _
* (*-1) У" +[(1 -1-а + *) Jf-Cl У' A-Ciby = O
Лежандра * — 1,1, OO —
(1 -а-2) y"-2xif +п (п +1) у = О
Чебышева — 1,1, OO —
(1-х«) у'-ху'+п*у = 0
Вырожденное гипергеометрическое О OO
ху"+ (с—х) у' —ay = Q
Бесселя О OO
xbf ху' + (х2 — и2) у = O
JInrcppa * О OO
xif + (\-x)y'+ay = Q
Гармонического осциллятора — OO
if+^y = О
Эрмита — OO
у" — 2ху' +2ау = 0
* Присоединенные уравнения имеют те же самые особые точки.
сматривать как частный случай гипергеометрического:
х (х-1) у" + [(\ +а + Ь) х-с] у' + aby = 0. (8.18)
Полагая bx — z, получаем
Поделим это уравнение на b, тогда
Если же перейти к пределу 6—>OO, то
-zsS- (c-*)Sr+W = 0, (8.19)
что с точностью до множителя —1 совпадает с вырожденным гипергеометрическим уравнением. Проведенное преобразование приводит к слиянию (вырождению) двух регулярных особенностей в точках х — О и 1 и возникновению одной особенности в точке Z — О и превращению регулярной особенности па бесконечности в нерегулярную. 8.4. МЕТОД ФРОБЕНПУСА
337
Упражнения
1. Показать, что уравнение Лежандра имеет регулярные особенности п точках .V— — 1, 1 и оо.
2. Показать, что аналогично урашісншо Бесселя уравнение Jlarcppa *нмеет регулярную особенность в точке A--O и нерегулярную в точке Х~ OO.
3. Показать, что подстановка а* (1 — х)/2, a —-I1 b — l-\~ 1, с—1 сводит гипергеометрическое уравнение к уравнению Лежандра.
4. Оператор момента количества движения в квантовой механике задается в виде L= — i(rxV). Показать, что операция L-LiJr-= /(/-f 1) ij) приводит к присоединенному уравнению Лежандра.
8.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ В ВИДЕ РЯДА.
МЕТОД ФРОБЕНИУСА
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в форме
