Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 85

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 185 >> Следующая


/W = I(Z-I). (7.103)

21* 324 Г Л А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 11

Возьмем первую производную от f(z):

(7-104)

В соответствии с уравнением (7.91) из условия f (z) = 0 находим

Z=Ii-L (7.105)

Следовательно, седловые точки совпадают с точками z = -ft' и Z = —і. Интеграл (7.102 а) выбран так, что контур интегрирования выходит из начала координат по касательной в направлении положительной полуоси х, затем поворачивает в обратном направлении и, пройдя через седловую точку, асимптотически приближается к отрицательной вещественной полуоси. Можно выбрать линию интегрирования, проходящую через седловую точку г — -f і, так, чтобы Re (z— Mz) была максимальной, а аргумент в окрестности седловой точки оставался постоянным. Вблизи седловой точки Z0 — -H можно записать

2 — і = 6с*а, (7.106)

где б — малое число. Тогда

2f (г) = z —6eia -f і 1

Z 6et0 + i

= б cos a -f і (б sin а -f 1) — s-. .-г-тт =

1 v 1 ; б cosa-f / (б sin a-f1)

S . ./& . . 1ч б cos а—і (б sin а4-1) Чп = 6cosa-f t (osina-j- 1)--i + 2o sin'a+S^ ' (7Л07)

откуда

Re (z - і) = Ь cos a - б cos a (H 26 sin a + б2)"1. (7.108)

Учитывая, что б мало, разложим с помощью биномиальной теоремы' это выражение и отбросим в нем члены более высокого порядка, чем б3:

Re (z ——) — 2б3 cos a sin a + О (б3) « б2 sin 2a. ' (7.109)

Мы замечаем, что Re^z —принимает экстремальное значение в экстремумах sin 2a, т. е. когда 2а равно я/2 или Зл/2. Следовательно, аргумент a нужно брать равным л/4 it \ Одна из ,этих возможностей даст путь самого 7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА

325

крутого подъема, который нужно отбросить. Чтобы различить эти возможные варианты, подставим указанные значения а в (7.109). Для а = я/4

Re(e-4)=62, (7.110)

тогда как для а — Зп/4

Re(z—i-) = -e«. (7ЛП)

Очевидно, первый вариант приводит к минимальному значению реальной части в седловой точке (6 = 0), а второй — к максимальному. Следовательно, значение аргумента а = Зл/4 определяет контур, проходящий через седловую точку и являющийся линией скорейшего спуска.

Непосредственная подстановка в формулу (7.101) дает явное выражение для искомой функции

I (<?/2) ( —2/с'3) |1/2 = |/ JL е«я/2>(-У-2)еі»еІЗя/4ш (7t J 12)

Комбинируя члены, окончательно получаем главную часть асимптотического разложения функции Ханкеля H(s):

^(^«/Je^T-т). f (7.113)

В случае необходимости сюда могут быть добавлены дополнительные члены, которые определяются с помощью "метода Стокса, рассмотренного в разд. 11.5.

Во многих физических задачах требуется приближенное значение факториала при очень больших аргументах. Факториал можно представить (см. разд. 10.1) интегралом

OO со

s!= j P8e-PdP = Sf+1) \ e8<ln2-2>dz. (7.114) о о

В комплексной плоскости интеграл берется по контуру С. Для представления этого интеграла в форме, требуемой уравнением (7.86), сделаем в нем замену р = zs. Как и раньше, будем считать s вещественным и положительным, откуда сразу же следует, что подынтегральное выражение обращается в нуль на нижнем и верхнем пределах интегриро- 326 г Л А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПЕРЕМЕННОЮ II

ваиия при 0 и оо. Продифференцируем но z:

^1)=^(, „,_,)-!_,. (7.115)

Из этого соотношения следует, что 2-І — седловая точка. Положим

2-l=6eia, (7.116)

где б необходимо взять малым, как это требуется для определения контура вблизи седловой точки. Подставим это в / (z) и разложим в ряд:

f (z) ¦-= In (1 -f беіа) -(1 + беіа) = s= беіа - і. 62е2іа -4- ... - 1 - беіа = -1-1 б2е2іа. (7.117)

Из последнего выражения видно, что подынтегральная функция достигает максимума, равного е~3, в седловой точке, если только в качестве контура С выбрать вещественную ось.

Непосредственная подстановка (7.117) в формулу (7.101) са = 0 дает

. "]/2я ss+1e~s /-7 ItQV

S /? JL----(7.118)

I 5(-1-2) |1/2 V '

Таким образом, первый член в асимптотическом разложении факториала имеет вид

s!« V2ns StGTt. (7.119)

Дополнительные члены асимптотического ряда рассмотрены в разд. 10.3. Формула (7.119) называется формулой Стерлинга. Здесь мы предполагали, что s вещественное. Однако это условие не является необходимым. Читатель может убедиться (см. упр. 4), что формула (7.119) верна и при замене S комплексной величиной Wt при условии только, что Reoy должна быть большой и положительной.

Упражнения

I. С помощью метода перевала оценить вторую функцию Ханкеля (7.1026).

_ / _ Jt _ УЯч

Ответ: ff™ (s)*]/ -^e 4 2K 7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА

327

2. Определить асимптотический вид функции Весселя мнимого аргумента первого рода

Контур интегрирования начинается и заканчивается в точке * = —оо, обходит в положительном направлении начало координат и проходит через две ссдловые точки._

Ответ: lv(x) ^ JW.

3. Определить асимптотический вид функции Бесселя мнимого аргумента второго рода

4. Доказать, что формула Стирлинга (7.119) справедлива и для комплексных S (при условии, что Re S велика и положительна). Указание. Для этого необходимо рассмотреть аргумент s, а затем потребовать, чтобы Im sf (г) оставалась постоянной вблизи седловой точки.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed