Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Cl
Для полюса порядка m в точке z — Z2
f (Z) = (z-z2)-mh (z). (7.77)
Подынтегральная функция аналогична выражению (7.75)
I(Z) Z-Z2 A(Z) v '
а интеграл по контуру C2 с точкой Z2 внутри него равен числу полюсов с отрицательным знаком:
^Mdz=-m- (7.79)
C2
Комбинируя (7.76) и (7.79), получаем интеграл (7.72).
В дальнейшем будем предполагать, что функция f(z) = = 1— y4? не имеет полюсов в полуплоскости Reo^O.
* Здесь приведен специальный случай более общего интеграла, называемого иногда интегралом Коши- 316 Г Л А В А 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 11
Тогда, если проинтегрировать f (2)// (г) в правой части комплексной полуплоскости, уравнение (7.72) укажет на наличие нулей. Если при этом
§fj§dz-^ 0, (7.80)
с
то jV = 0, а исследуемая система устойчива. В качестве контура С взята мнимая ось и полуокружность (бесконечного радиуса), замыкающая контур в правой полуплоскости.
Для вычисления интеграла (7.72), т. е. для проверки (7.80), положим
f (z) =rei9, Inf (г) = In г+ /0, (7.81)
тогда
W-ita/w-rl+'f- <7-82)
Подставив это в (7.72), получим
+ (7.83)
с
Поскольку контур С замкнут, первый интеграл справа исчезает. Второй интеграл дает 2я или нуль в зависимости от того, содержится внутри контура интегрирования начало координат или нет. Следовательно, можно утверждать, что устойчивость усилителя определяется тем, попадает ли начало координат внутрь графика функции f (г) = 1 —
— А (г) ? (г), когда переменная z пробегает значения от
— гоо до -j-r'oo *. Если внутри коивой не содержится начало, то
(^de = 0, (7.84)
и в правой полуплоскости нули отсутствуют. Следовательно, • усилитель устойчив. Полученное условие называется критерием устойчивости Найквиста.
* При W оо А О, поэтому полуокружность бесконечного радиуса отображается на точку / (г) = 1.
7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
317
Упражнения
1. В квантовой теории фотоионизации атома водорода встречается контурный интеграл
где п вещественное, нецелое число. Внутри контура интегрирования (рис. 7.12) имеются две точки ветвления Z = ± 1/2. Обосновать
Рис. 7.12. Контур интегрирования.
выбор удлиненного контура. Использовав этот контур, вычислить интеграл /.
Omem-. = / = JgHL .-J«™*-
1 (п2-И)3 \w-fl/ («2+1)3
2. Дзета-функция Римана имеет интегральное представление
OO
1 f Xs-1C"*
) -^zpx dx> Res>l. о
Рассмотрев контурный интеграл
!
1-е-*
С
dz, I
»
318 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО II
показать, что
2m J 1 —
выполняется для любых S из комплексной плоскости S, кроме 5=1,2,3,... Контур С показан на рис. 7.13. Интеграл представляет аналитическое продолжение функции ?(s) на всю комплексную плоскость.
оо
4x2 -1
3. Показать, что cosx= Д [і- (2п-1)2я2]
Tl= і
4. Произведение гГ(г) имеет простые полюса в точках z= — 1, —2, —3, ..., —п. Получить представление обратной гамма-функции в виде бесконечного произведения.
Рис. 7.13. Контур интегрирования для получения дзета-функции Римана.
5. Функция g (г)— аналитическая в ограниченной области комплексной ПЛОСКОСТИ И имеет простые нули B точках Z=Zh. Кроме того, g'{z)(zg(x) обращается в нуль при |z|—>оо. Показать, что g(z) =
OO
= g(0) [J (1 —z2/z\), если g(z)~четная функция. В бесконечное ft= 1
Произведение ВХОДИТ ТОЛЬКО одна из двух точек Zi И — Zf. Показать, что
OO OO
?"(0)=-22 тг> g<4> (O)=3 [g" (О)]2—12 2
ft= і ft=l 1
если g (O) == 1.
6. Привлекая результаты упр. 5, получить формулы из разд. 5.8:
Я=з 1 П=1 4
7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
319
7.4. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
В математической физике часто необходимо знать поведение функции при больших значениях переменной, т. с. ее асимптотическое поведение. Метод перевала представляет собой один из способов определения асимптотического поведения функций, которые могут быть записаны в виде
I(s) = §g{z)&Wdz. (7.86)
с
Для определенности условимся считать здесь параметр s вещественным. Контур интегрирования выбирается тогда так, чтобы Re f (г) оо на обоих его концах, в результате чего подынтегральная функция обращается в нуль; иногда контур берут замкнутым. Предположим также, что множитель g(z) в подынтегральном выражении мажорируется в интересующей нас области экспонентой.
При больших значениях положительного параметра S величина подынтегрального выражения увеличивается, когда Ref(z) возрастает, и уменьшается, когда реальная часть мала или отрицательна. В частности, поскольку величина s может быть как угодно большой (что приводит к асимптотической зависимости), основной вклад в интеграл вносит область, близкая к той, где Re f (z) достигает положительного максимального значения. Вдали от этой области подынтегральная функция сравнительно мала. В этом легко убедиться, если представить
Иг) - и (Xi у) + iv (X, у). (7.87)
Тогда интеграл запишется иначе:
/ (s) = \ g (2) е» <*• v) dz. (7.88)
с
Кроме того, ограничимся случаем, когда мнимая часть показателя экспоненты iv (х, у) постоянна в области, в которой реальная часть принимает максимальное значение, т. е. V (х, у) = V (х0, Уо) — V0, в этих предположениях интеграл аппроксимируется выражением
