Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
oo oo oo oo oo
f dx f X2 dx f *2 dx Г dx f Sin2 JC ,
J x2 + a2' J (x2 + a*)2 ' J (Jc2 + a2)3 ' J *4 + а4' J
—00 -OO -OO —CO —CO
Ответ: я/2а3, я/2а, n/Sa3, я/"1/2а3, я/2
00
!X~a Л
——.dx = --, 0<д<1. Этот интеграл поз-
x-f-1 sinrnx
-OO
воляет иначе определить соотношение (7.26). Указание. Поскольку есть точка ветвления, необходимо сделать разрез. Напомним, что функция
z~a = w в полярных координатах записывается в виде [ге*<0~*~2яп*1_а = =реіф, откуда следует, что—аО—2апя~<р. Нужно ограничиться нулевым значением п (или любым другим целым л), тогда ср определяется единственным образом. Контур интегрирования показан на рис, 7.9, а. f.2. Теория йыЧетой
4. В квантовой теории атомных столкновений встречается инте-
OO
грал /= ^ tW dt, в котором р— вещественное. Показать, что
—00
/ = O для I р I > 1, и I = TL для I р I < 1. Чему равен интеграл, когда Р = ± 1?
OO
5. Показать, что J f (х) dx = 2ш вычеты (г/>0), если f (г)
—со
аналитична при t/> 0, за исключением изолированных полюсов при «/>0 и І іш z/ (г) — 0, причем 0<argz<Jt. Этот вывод непосред-
|г|->оо
ственно применим ко всем интеграл м из упр. 2.
6. Показать, что при а > О
OO OO
І cos X , „ P д: sin л: , _
— 00 —00 Как изменится значение этих интегралов, если сделать замену cos X — ces kx, a sin X S= sin Ах?
7. Используя теорему о вычетах, показать, что
я
Jita^de-JIpSgLi я —0, 1,2...
О
8. С помощью теоремы о вычетах убедиться, что
2Л
f dQ 2jl Л -
\ T--h=—7===== . 0<8<1.
J 1 + Є COS О Т/|_е2
о v
9. Доказать, что при R —оо
OO
!sin X , -ах== я.
X
—оо
Контур интегрирования показан на рис. 7.9, 6.
10. Показать, что
OO
Їх<1 J па 1 ^ ^ і
(х-)-1)2 sinna' ^ ^
о
Здесь приведен еще один способ вывода соотношения (7.26). Указание. Воспользоваться контуром, который изображен на рис. 7.9, в, имея в виду, что точка Z = O является точкой ветвления и разрез сделан вдоль оси х.
20* а
R+iR
R X -R+Ітґ
Рис. 7.9. Контуры интегрирования при
вычислении интегралов:
а—из упр. 4; б — из упр. II; в — из упр. 12; г — из упр. 14. M ҐІ^ИМЕНЕНЙЕ ТЕОРИИ BbltlEtOO Зо9
И. Вычислить интеграл (^) е z2dz по контуру, который ограничивает сектор 0 <6 ^ я/4 с радиусом R—^oo. Показать, что
OO OO
!cos X2 dx— f sin X2 dx = J—=..
і 2V2
о
Здесь представлены известные интегралы Френеля. Указание. Показать что
оэ ,_
, I/^
Є ^dx=Jy-
J
О
7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
Инверсия степенного ряда. В разр. 5.7 рассматривалась задача, каким образом из известного ряда
W- CiiZ-{-Ct2Z2Ct3Z2. . . (7.45)
получить новый ряд вида
Z = ^1OfH-Mf2+ ^w8+ .... ' (7.46)
Прямой подстановкой было выражено несколько первых коэффициентов bt через известные коэффициенты а?. Определим эти коэффициенты более простым и изящным методом. Запишем равенство
« W нв Ji^Sfc*. (7-47)
С
где t — комплексная переменная интегрирования. Для проверки (7.47) вычислим вычет в точке t = z. Воспользовавшись результатом, полученным в разд. 7.1 (упр. 1), положив в немт = 1 и разложив функцию w (t) в ряд Тейлора в окрестности точки t = Zt найдем, что вычет подынтегральной функции равен
a-i = lim ('-%'(**»> =
If2 W [t)-W (Z)
_iim_(t-z)z(di0/dt)_ «7 48)
~~ V-iz w (^)И-(^~~2)(dwfdt)-\~[(t—z)*/2\\(d*w/dl*) -j-----w(z)' * ' }
В пределе при t г, получим a_i = г, что и доказывает справедливость формулы (7.47). 310 ГЛАВА* 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ИЕ1>ЁМЁНН0Г0 11
Контур интегрирования С в интеграле (7.47) выбирается таким, чтобы W ф 0 внутри и на самом контуре, за исключением нулевого значения w (t) в начале координат. Тогда на всем контуре z ограничено условием | w (г) | < | w (t) |. При таком ограничении подынтегральную функцию можно разложить в ряд
OO
EST*
TI=O
оо
-2i-wriJ-$S8i*. (7.49)
Ti=O
Из выражений (7.46) и (7.49) получим
ь-hSA*- (7-5°)
Теперь вопрос сводится к вычислению последнего интеграла. Учитывая (7.45), его подынтегральную функцию можно записать так:
/ _ i(gi+2gzf+"*) /7 с iv
1 ~ tn+Hcn+a2t+ -..)n+1 ' { 4
В точке / = O эта функция имеет полюс я-го порядка. Поскольку точка t — 0 является единственным нулем функции W (f) в замкнутой области, ограниченной контуром С, можно воспользоваться результатом упр. 1 к разд. 7.1, откуда
h__L_ г (dwidt) -| n
°n~~ (л—1)! 'dP-iL [tt>(01n+1 J^0'
Можно поступить иначе и проинтегрировать выражение (7.50) по частям:
(7-53)
2 nni
Здесь отсутствует проинтегрированная часть, поскольку, однозначную функцию интегрировали по замкнутому контуру. Применяя далее теорему о вычетах, получим 7.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
311
Этот метод инверсии ряда особенно удобен, когда функция представима в замкнутой форме, так что уравнения (7.52) и (7.54) можно продифференцировать непосредственно. Определенные таким образом коэффициенты bt можно выразить через известные коэффициенты Cil. Выпишем несколько первых коэффициентов:
bi = <1, Ьг= - Ct2CT*, Ьг = CT13 (2а\а* - а^1),
