Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1.13. Представление тройного скалярного произведения в виде параллелепипеда»
в обратном порядке, то соответствующий член имеет знак минус. Далее, последовательность скалярного и векторного умножения можно изменить:
A-B X С— А X B-C. (1.44)
Удобно представить смешанное произведение через определитель (см. разд. 4.1):
Ax Л, Аг
A-BxC = Bx By B1 (1.45)
Cx Cv Cz
Из правил замены в определителе строк на столбцы сразу же следуют перестановочные соотношения (1.43), тогда как симметрия векторов А, В и С в такой записи обеспечивает выполнение условия (1.44).
Смешанные произведения, использованные в разд. 1.4 для доказательства перпендикулярности векторного произведения AxBk векторам А и В, были лишь частными случаями общего результата (1.43). е 28 ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
і . і , .. ,і ¦¦ --і, _.і .., .,. .і.
Смешанное произведение имеет наглядную геометри-, ческую интерпретацию. Три вектора А, В и С образуют параллелепипед (рис. 1.13):
І В X С I = ВС sin 6 = площадь параллелограмма. (1.46)
Вектор BxC направлен, конечно, перпендикулярно к плоскости параллелограмма, лежащего в основании параллелепипеда. Скалярное умножение А на этот вектор означает умножение площади параллелограмма на проекцию вектора А на нормаль к плоскости, или» иначе, умножение площади на высоту параллелепипеда. Следовательно, A-BX X С равно объему параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С.
Пример 1. Для векторов A —i4-2j—k, B~j |~к, C = i—j
1 2 -1
A-BxC= 0 1 1 . (1.47)
1-1 0 ,
Разложив определитель по верхней строке, получим 1(04-1)-2(0— — 1)—1 (0-1)=4. Это объем параллелепипеда, определенного векторами A, B и С. Читатель должен заметить, что в некоторых случаях произведение A-BxC может быть отрицательным.
Рассмотрим теперь двойное векторное произведение, кото* рое, имеет вид А X (В X С), В данном случае скобки необходимо сохранить, в чем можно убедиться, остановившись на специальном случае:
Ix(Ixi) = Ixk=-J1 но (Ixi)Xj = O. .(1.48)
Указанное произведение трех векторов само является вектором; это следует из определения векторного произведения. Кроме того, мы видим, что результирующий вектор перпендикулярен к А и В X С. Плоскость, определенная векторами В и С, перпендикулярна к BxС, и, следовательно, вектор А X (В X С) лежит в этой плоскости. Это означает, что вектор А X (В X С) должен быть линейной комбинацией векторов В и С. Исходя из сказанного, находим[ соотношение
А X (В X С) - В (А. С) - С (А • В), (1.49)'
известное под названием правила ВАС — CAB. Этот резуль-" тат можно проверить путем прямого, хотя и громоздкого,» метода разложения векторов на компоненты (см. упр. 1). • 1.5. СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 29
Следует заметить, что как векторы, так и векторное уравнение также не зависит от выбора системы координат. Она определяет лишь компоненты вектора. Поэтому если векторное уравнение записано для декартовой системы координат, то оно сохраняется и остается справедливым
и в любой другой системе координат (см. гл. 2).
*
Пример 2. Используя три вектора, заданные в примере 1, с помощью уравнения (1.49) получаем
AX(BxC) = (j + k) (1—2) —(і —J) (2—1) = —і—k.
В подробной записи
і j k Bxc= 0 1 1 = I -hi — Ic
1 —1 0
и
Ax(BxC) =
і j k 1 2 —1 1 1 -1
= —і—k.
С помощью смешанного и двойного векторного произведений можно упростить другие произведения векторов.
Смешанное произведение находит интересное применение при построении обратной кристаллической решетки. Пусть a, b и с (не обязательно взаимно перпендикулярные)— векторы, определяющие кристаллическую решетку. Расстояние между двумя точками решетки г = паа + яьЬ + ,-Mcс, где па, UbVinc — некоторые целые числа. С помощью заданных векторов запишем соотношения.
DXC CXa ^ ах b ^ ^
а'
а-Ьхс
Ь' =
с =
а-Ьхс ' ~ а*Ьхс
Мы видим, что а' перпендикулярен к плоскости векторов b и с и по абсолютной величине пропорционален а'1. Действительно, легко показать, что
a'.a = b'.b = c' c= 1, a' b = a' c = b' a =
= b'-c = c'.a = c'.b=0.
Последние уравнения определяют так называемую обратную решетку. Обратная ірешетка связана с задачами по рассеянию волн на различных плоскостях кристалла *.
* Подробнее см. Leigton R. В. Principles of Modern Physics. N.Y., McGraw-Hill, 1959, p. 440—448. 30
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Упражнения
1. Доказать формулу Ax(BxC) = B(A-C)-C(A-B).
2. Показать, что ах (b X c) + bx (сХ a)-f с X (ах b) = 0.
3. Вектор А разложен на радиальный Ar и тангенциальный вектор Af, г0—единичный вектор в радиальном направлении. Показать, что Аг = г0(А-г0) и Af=-ГоХ(гоХА).
4. Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности трех (ненулевых) векторов A, B и С является равенство нулю смешанного произведения A-BxC = O.
5. Даны три вектора A = Зі — 2j + 2k, B = 6i-Hj — 2k, C = = —Зі—2j —4k. Найти A-BxC и Ax(BxC), СХ(АХВ)ИВХ X (С X А).
6. Сила F действует на тело, помещенное в точке г. Показать, что результирующий момент L относительно любой из осей, проведенных через начало координат, равен L-rXF-a, где а—единичный вектор в направлении этой оси.
