Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Заканчивая рассмотрение особых точек, приведем теорему Лиувилля (см. разд. 6.3, упр. 3):если функция — аналитическая во всей плоскости и ограниченная, то она постоянна. Эту теорему легко доказать с помощью интегральной формулы Коши. В то же время любое отклонение аналитической функции от постоянного значения означает, что во всей плоскости изменения комплексного переменного имеется по крайней мере одна особая точка. Оставляя в стороне тривиальные постоянные функции, заметим, что особые точки встречаются во многих задачах. Мы используем их для разработки теории вычетов.
Упражнения
1. Функция /(z), разложенная в ряд Лорана, в точке z=zo имеет полюс m-ro порядка. Показать, что коэффициент при множителе (г—2о)-1 определяется по формуле
1 d™-1
причем в случае простого (т— 1-го полюса) я_1=[(г—г0) / (z)]2=2o.
2. Функция /(z) —/i (z)//2(z), где fi(z) и /г (г)—аналитические функции, а /2(г) = 0 в точке ;г = z0. С ,другой стороны, известно, что fi (z) Ф 0 и /H2(J) = O- Показать, что коэффициент в разложении Лорана функции / (z) в точке z = Zq равен Ci^i = Ii(Z0)Ift2(Z0).
7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
Проинтегрировав почленно функцию, разложенную в ряд Лорана, по замкнутому контуру, охватывающему одну изолированную особую точку Z0, против часовой стрелки, получим
an§(z-*о)пdz = дУ* \1 = 0 (7.4) для п Ф — 1. Однако если п - — 1, то
fl-i ^ (z — z^dz = oLj ф dQ = 2w'flLi. (7-б) 7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЁТОВ ' ' ' 295
Сложим уравнения (7.4) и (7.5):
(7.6)
Постоянная AL1, которая служит коэффициентом в разложении Лорана при члене (z — Z0)"1, называется вычетом функции f (г) в точке г = Z0.
Рис. 7.2. Исключение изолированных особых
точек.
Для функции с несколькими изолированными особыми точками контур следует деформировать, как показано на рис. 7.2. Учитывая интегральную теорему Коши (см. разд. 6.2), получаем
§/(z)dz +§f(z) + §f(z)dz+§J(z)dz + ... =0. (7.7)
С C0 Cl Cz
Значение криволинейного интеграла, взятого по малой окружности вокруг любой из изолированных особых точек, дается выражением (7.6)
Qf {г) dz = — 2jw'ali |2==Zi,
Ci
(7.8)
где предполагается, что функция f (z) разложена в ряд Лорана в окрестности особой точки z = Zi. Отрицательный ?96 t* Л А В А 7. ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЁМЕНМОГО П
знак в последнем выражении возникает при интегрировании по часовой стрелке (см. рис. 7.2). Комбинируя уравнения (7.7) и (7.8), получаем важную теорему о вычетах
Изолированные полюсы первого порядка могут иногда располагаться непосредственно на контуре интегрирования. В этом случае контур можно деформировать так, чтобы включить или исключить данную особенность, делая обход
Рис. 7.3. Обход особых точек, лежащих на контуре.
по полуокружности бесконечно малого радиуса (рис. 7.3). Интегрирование по полуокружностям дает Jual1 при обходе против часовой стрелки и —яш_і при обходе по часовой стрелке. Полученный дополнительный вклад со знаком плюс или минус нужно приписать к левой части уравнения (7.9). При обходе по часовой стрелке вычет не учитывается и в правой части уравнения (7.9) отсутствует соответствующий член. Однако при обходе против часовой стрелки особая точка попадает внутрь контура С, поэтому в правой части уравнения (7.9) появляется член 2яш-j. Во всех случаях, как при обходе по часовой стрелке, так и против, простой полюс, расположенный на контуре, приводит к дополнительному члену в уравнении, причем вклад этого члена равен половине того, который мог бы быть, если бы этот полюс располагался внутри контура.
Другой способ решения заключается в том, что полюс смещают с контура интегрирования, а затем переходят к пределу, при котором он возвращается в старое положение. Этот способ использован при вычислении интеграла (7.27).
Вычислим интеграл
+fl-i -f .. .) =
= 2пі • (сумма вычетов). (7.9)
OO
(7.10)
—с» 7.2. ТЕОРИЯ ВЫЧЁТОВ
' ' ' 297
В комплексной плоскости
ж=*оо
= І-ТГ?- (7Л1>
ж=—OO
В данном примере и во всех примерах аналогичного характера необходимо ответить на два вопроса: 1) где находятся полюсы подынтегральной функции и 2) как выбирать контур интегрирования.
Для определения полюсов запишем
Как видно, в точках г = і и z = —і подынтегральная функция имеет простой полюс (первого порядка). Наличие простого полюса в точке z = Z0 определяет форму разложения Лорана
со
/0=5^ + ^+2 MZ-ZcT (7.12а)
П=1
Вычет а_j легко определить, умножив f(z) на (г — г0):
AL1 Hz-Z0)/(г)|«.. (7.126)
Воспользовавшись этим соотношением, можно установить, что вычет в точке Z = і равен 1/2/, а вычет в точке z = —і равен —l/2t.
Замкнутый контур интегрирования выберем так, чтобы дополнительный линейный интеграл давал либо известный вклад, либо, что еще лучше, оказался равным нулю. Как известно, замкнутость контура есть необходимое условие для выполнения теоремы о вычетах. Для интеграла (7.11) контур можно замкнуть с помощью полуокружности радиусом R в верхней или нижней полуплоскости (рис. 7.4). Тогда
$ * Hmf *+ИШ (7ЛЗ)
О 1 + Z2 ^03 J 1 + *2 j 1+/?2e2{0 v 1
