Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
3. В z-плоскости на вещественную ось между точками t/=—а, у= -\-а подан потенциал 100 в. Остальная часть оси заземлена. Определить потенциал в любой точке j/=0. Какова электрическая емкость (на единицу длины) этой системы?
4. С помощью преобразования Шварца—Кристоффеля получить преобразование W=Z2t которое реализует отображение первого квадранта плоскости г на верхнюю полуплоскость w. ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО il (теория вычетов) 7.1. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Разложение Лорана обобщает разложение Тейлора на случай существования особых точек. Условимся называть точку Z0 изолированной особой точкой функции / (г), если существует некоторая окрестность этой точки (с исключенной точкой Z0), в которой / (z) аналитична.
Полюс. Если в разложении Лорана функции f (z) в окрестности точки Z0
f(z)= S MZ-Z0)", (7.1)
П=—оо
ап = О для п < — т < 0, а а-т Ф 0, то точка Z0- называется полюсом порядка т. Например, если т = 1, т. е. если a_j/(z—z0) есть первый неисчезающий член в разложении Лорана, то в точке Z0 мы имеем полюс первого порядка, который часто называют простым полюсом. Если же суммирование производится до п = — оо, то точка Z0 является полюсом бесконечного порядка и называется существенно особой точкой.
Эти точки обладают многими отличительными свойствами, характерными только для них. Например, можно показать, что в произвольной малой окрестности существенно особой точки функции / (г) эта функция может быть сделана как угодно близкой любому наперед заданному комплексному числу w0. Короче говоря, вся до-плоскость отображается на окрестность точки Z0. Одно из фундаментальных различий между полюсом конечного порядка и существенно особой точкой заключается в том, что полюс порядка т можно устранить, умножив функцию f (z) на (z —Z0)"1. Очевидно, этого нельзя сделать в случае существенно особой точки.
19* 292 ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО П
Вместо поведения функции / (z) при Z-+ оо можно изучать поведение f (lit) при /->-0. Рассмотрим функцию
OO 11=0
Сделаем замену z = 1 It:
sm (j) - S /г« + ш^+Г ' (7-3)
n=0
Из (7.2) ясно, что sin z имеет существенно особую точку на бесконечности. Такой вывод следует и из разд. 6.1 (упр. 10), поскольку при X — О sin Z = sin iy = іsh у, т. е. функция sin Z стремится экспоненциально к бесконечности при у-+ 00.
Точки ветвления. Существует еще один важный тип особенности, который подробно освещается в последующих разделах этой главы. Рассмотрим функцию / (z) = za, где a — нецелое *. При перемещении вдоль границы единичного круга (от е° до е2яі) и нецелом а оказывается, что
/ (г) е2ті ф еоі.
Как и в разд. 6.5, мы здесь имеем дело с точкой ветвления. Точки е°* и е2яі в z-плоскости совпадают, но эти совпадающие точки приводят к разным значениям функции f (z), т. е. эта функция многозначна. Задача решается построением такого разреза, чтобы функция f (t) была однозначно определена для данной точки z-плоскости. Важно подчеркнуть, что функция, имеющая точку ветвления, не будет непрерывной на линии разреза. Отсюда линейный интеграл вдоль одной стороны линии разреза, вообще говоря, отличается от интеграла, взятого вдоль другой стороны.
Пример. Рассмотрим функцию
f (2) = (2*-l)1/2 = (Z+l)l/2 (2-1)1/2.
Множители (z+І)1^2 и (г —1)1/2 имеют точки ветвления соответственно при г —— 1 и г=+ 1. Сделаем разрез вдоль отрезка, соединяющего точки z=+l и г =s — 1, и исследуем аргументы этих дв.ух
* Точка Z= О есть специальная особая точка для функции z°, которая имеет только конечное число производных, аналитическая же функция подразумевает существование производной любого порядка (см. разд. 6.3). 7.1. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
293
множителей при перемещении по контуру, который показан на рис. 7.1. В точке / аргументы функций (г+1) и (г —1) равны нулю. При перемещении от / к 2 аргумент множителя (г— 1) возрастает до я,
т. е. (г—1) становится отрицательным. Затем аргумент множителя (г—1) остается постоянным вплоть до точки 6, начиная от которой и до полного замыкания круга в точке 7 аргумент изменяется еще нал. Аргумент множителя (2 -J-1) изменится аналогичным образом,
Таблица 7.1
Значения аргумента
Положение на контуре 2+1 2 - 1 (2+ l)V2(2_ 1)V2
1 « 0 0 0
2 0 я л/2
3 0 я л/2
4 я я я
5 2л я Зл/2
6 2я я Зл/2
7 2я 2я 2я
увеличиваясь на 2л при движении от точки 3 к точке 5. Значения
аргументов для (г—1), (z-f 1) и функции / (г) = (г +1)1/2 (г— \){/2 приведены в табл. 7*1. Заметим, что
argf(z) = [arg(z-l) + arg(z+l)]/2.
Из табл. 7.1 видно, что: 1) аргумент в точках 5 її ff не совпадает с аргументами функции в точках 2 и 3 (такое поведение функции на линии разреза tможно было ожидать заранее); 2) аргумент в точке 7 превышает аргумент в точке / на 2я, и, следовательно, 294 глава 7. функции коашлексного переменного il
функция / (г) = (22—1)1/2 однозначна на контуре, вдоль которого производится обход обеих точек ветвления.
Таким образом, если разрезать z-плоскость вдоль оси х от точки — 1 до точки -f 1,. функция / (z) окажется однозначной.
