Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
граничных условиях нельзя определить конкретные аналитические выражения для эквипотенциален и линий электрического поля. Данное утверждение означает, что нам неизвестно решение уравнения Лапласа V5Hj) = 0, удовлетворяющее этим граничным условиям.
С помощью преобразования до = z2 перейдем на до-плоскость [см. уравнение (6.78) и т. д.], тогда эквипотен-циали V1 и V2 окажутся в этой плоскости вертикальными линиями u = c1 и u-c2. Проверкой можно убедиться, что в новой комплексной до-плоскости в качестве решения уравнения Лапласа для эквипотенциалей можно взять систему прямых и = Ch а для линий электрического поля — систему Прямых V = Cj1 причем прямые линии этих двух систем взаимно перпендикулярны. Делая обратное преобразование на z-плоскость, убеждаемся, что все прямые углы сохраняются, поскольку преобразование г — до1/2 анали-тично (за исключением точки до — 0). Запишем полученный результат в явном виде:
и = X2 —у2 = C1- эквипотенциали, V = 2ху = Cj — линии электрического поля.
(6.95)
Итак, задача, которую было трудно решить на z-плоскости, с помощью отображения на до-плоскости легко решается благодаря специально выбранной системе координат. Наконец, полученное решение обратным преобразованием было перенесено на первоначальную плоскость [см. выражение (6.95)].
Рискуя проиграть в наглядности, докажем, что решение уравнения Лапласа 1F (U1 и) в до-плоскости после обратного отображения на z-плоскость остается решением этого уравнения, если только функция до = f (г) аналитична. Вместе с тем на конкретном примере еще раз убедимся, насколько важны условия Коши — Римана. На z-плоскости с координатами х, у и на до-плоскости с координатами U1 V введем обозначения
ф = ф (*, у), W = T (и, V), (6.-96)
причем кривая ? (u, v) = a на до-плоскости соответствует кривой ф (xt у) = a на z-плоскости, т. е.
? (U1V) = W [и (X1 у), и (X1 у)] = ф (X1 у). (6.97) 6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
279
(6.98)
Дифференцируя Ч' (и, t/) по X, получаем
дЧ{и, у) _дидЧ ди дЧ
дх ~ дх ди дх dv ' дЩ __дЧ dW / ди \2 д^У дх2 ~~ дх* ' du I дх J ди*
.,? ди дЩ . д*идУ ( du \ 2 ОТ + дх дх dudu^'dx* ди + { дх ) до* '
Аналогично для д^/ду2. Теперь
дЩх, у) ¦ дЦ (.X, у) (Ц> v) {и, о) _ дх* + ду2 ~ а*2 + ^a -
~~ \ дх*+ ду*} du + I дх*+ ду* ) dv +
, 2 fifi^li^i^.^ d2xP
V дх дх ' ду ду ) ди ди '
пЫ +Ы ЫчЫ +(?-) J^- (6-99)
В правой части уравнения (6.99) первые два члена равны нулю, так как и и v удовлетворяют уравнению Лапласа, если W аналитична (см. упр. 3 к разд. 6.1). Остальные члены исчезают в силу условий Коши — Римана. В результате получаем
VW (X, у) = [(2 + (*?•)12J (и, V) -0, (6.100)
в котором учтено, что Y (и, v) удовлетворяет уравнению Лапласа в до-плоскости. Отсюда следует, что функция, которая является решением уравнения Лапласа, после аналитического преобразования также удовлетворяет уравнению Лапласа.
Рассмотрим задачу о проводящем круглом цилиндре, параллельном бесконечной т металлической пластине (рис. 6.21). Читатель может проверить *, что переменные г
* Проверить эту формулу несложно, но вот как «догадаться», каким должно быть преобразование? Некоторые из преобразований можно получить в виде комбинации элементарных функций. Выражение (6.101) из комбинации экспоненциальных и тригонометрических функций получить сравнительно трудно. Обычно о той или иной нужной формуле отображения «догадываются» с помощью специальных справочников. Из числа наиболее полных справочников можно указать книги: Nehari Z. Conformal Mapping. N.Y., McGraw-Hill, 1952; Kober |Н. Dictionary of Conformal Representations. N.Y., Dover, jl952f У ! 09
-Ж V=O я
1 г V=O 3 а
6 5 V=-VnI 4
и
Рис. 6.21. Бесконечный цилиндр, параллельный пластине. 6.6. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 281
і—- ¦ _________
и до связаны -в этом случае следующим преобразованием:
Y • } (6.101)
shy sin« Iх '
х = — а —-, у = а-г-.
chу—cos и v chu—cos« J
Исключив и, получим круг с центром в точке X = d — = —а cth vn, у = 0 и радиусом г = —a csh vn. Это значит, что uu = Arch (dir) (взят знак минус, поскольку Vn отрицательно). Можно убедиться *, что электростатический потенциал в до-плоскости равен
-ы<*«>. (6-102)
Далее, из уравнения (6.101) выразим v через z, для этого запишем до= — 2arctg(— izla), откуда
V = Im [2 arctg (-?)] =-Re [2 Arth ) ] . (6 Л 03)
Подставляя полученное выражение в (6.102), имеем потенциал в правой полуплоскости z(x> 0)
"--1-41?^-}. (6^
поскольку отрицательные знаки взаимно уничтожаются. К этой задаче можно подойти иначе и записать полученные выражения в более компактной форме. Обратившись к результатам разд. 2.9 й сравнив их с уравнением (6.101), легко установить, что оно задает биполярную систему координат. В этом случае эквипотенциали выражаются как
(х-+ a cth VУ + у2 = a csh2 и. (6.105)
На этом завершается первая часть задачи, однако можно пойти дальше. Рассмотрим электростатическую емкость между двумя эквипотенциальными поверхностями (на единицу длины в направлении нормали к плоскости ху). Мы имеем
