Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
С учетом (6.59) ряд Лорана приобретает вид
OO
= _ 2 л (6.60) ft—— 1
Разложение Лорана для этой простой функции можно, конечно, получить непосредственно из биномиального разложения.
Ряд Лорана отличается от ряда Тейлора наличием членов с отрицательной степенью (z — Z0). Поэтому он будет всегда расходиться, по крайней мере, в точке г = Z0 и, возможно, в некоторой окрестности этой точки радиуса г (см. рис. 6.11).
Упражнения
1. Разложить в ряд Лорана функцию f (z) = [z(z—1)]-* в окрестности точки 2 — 1 при малых и больших значениях модуля \z— 1 |. Определить точно область, для которой справедливо такое разложение, имеющее смысл аналитического продолжения функции (6.60).
2. Функция f (Z) аналнтичиа внутри единичного круга и па его границе. Кроме того, |/(г)|<1 для|г|<1 и f (O) = O. Показать, что I f (z) Ki zj для |г|<1.
3. Разложить функцию ln(l-f2) 8 ряд Тейлора.
OO
Ответ: 2 (—1 ^1ZnIп.
п~ 1
4. Доказать единственность разложения Лорана некоторой функции в окрестности данной точки. Указание. Воспользоваться интегральной формулой Коши.
5. Разложить ct?z и (ez —I)-1 в ряд Лорана в окрестности начала координат. Записать первые три ненулевых коэффициента.
6. Получить биномиальное разложение
для любого вещественного т.
7. Функция f (z) может быть разложена в ряд Лорана в окрестности начала координат, причем коэффициенты такого разложения вещественны. Показать, что
/* (z) = f(z*).
Проверить это для функций f (z) ~ Zn, п—целое; / (z) = Sin 2. Показать, что утверждение теряет силу, если f(z) = iz (ai = i).
8. Задана вещественная функция комплексного переменного f (z),
причем в разложении Лорана f (z) — 2 anzn в окрестности начала
все коэффициенты Cn==O для я<—Доказать, что все коэффициенты ап вещественны. i;.r>. отог>гЛ/Кі:иШ'.
2G7
6.5. ОТОБРАЖЕНИЕ
Обратимся теперь к геометрическим свойствам функций комплексного переменного, которые позволят более отчетливо уяснить смысл интегральных операций из гл. 7 и, кроме того, представляют интерес для решения уравнения Лапласа в двумерном случае.
В обычной аналитической геометрии можно задать функцию у =--- J (х), а затем начертить график у (л). В данном случае проблема оказывается более сложной, поскольку г зависит от двух переменных х и у. В дальнейшем будем пользоваться обозначением
W = f (z) = и (Х} y) + iv (х, у). (6.61)
Теперь точке на z-плоскости (заданной значениями х и у) могут соответствовать определенные значения и (х, у) и V (*, у), которые зафиксируют некоторую точку на w-плоскости. Поскольку точки на z-плоскости преобразуются или отображаются в точки на до-плоскости, то линии или области, лежащие в плоскости z, будут отображаться в линии или области, расположенные в до-плоскости. Наша цель состоит в том, чтобы выяснить, каким образом с помощью элементарных функций линии или области на z-плоскости преобразуются в линии или области па до-плоскости.
Параллельный перенос. Функция до равна сумме переменной Z и некоторой постоянной Z0 = X0 + іуо-
до = Z + Z0. (6.62)
Из уравнений (6.1) и (6.61) следует, что
и = X + х0, V = у + у0. (6.63)
Эти формулы преобразования характеризуют простой сдвиг координатных осей (рис. 6.12).
Поворот.
W = ZZ0. (6.64)
В полярном представлении
W = реіф, z = reie, z0 = r0eie°, (6.65)
откуда
рЄіф__ ГГоЄг (0+Єо)
(6.66) >
268 ГЛАВА 6. ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1
ИЛИ
P = гг0, Ф = 9 + 0О. (6.67)
Анализируя последние формулы, можно высказать следующие .соображения. Во-первых, модуль комплексного
числа г либо растягивается, либо сжимается в зависимости от множителя г0. Во-вторых, аргумент числа увеличивается на дополнительную постоянную O0 (рис. 6.13).
Это означает поворот комплексной переменной на угол G0. В случае Z0= і мы имеем чистое вращение на угол я/2. Инверсия.
W = -. (6.68) 6.5. ОТОБРАЖЕНИЕ
269
Снова воспользуемся полярной формой записи откуда
P=T- ф=-е- (6-7°)
Первое из полученных соотношений описывает чистую инверсию. Внутренность единичного круга отображается во
Рис. 6.14. Инверсия.
внешнюю область, и наоборот. Второе соотношение показывает, что полярный угол меняет знак. Следовательно, преобразование (6.68) содержит в себе отражение оси у, какое имеет место при комплексном сопряжении (рис. 6.14).
Чтобы выяснить, как линии на z-плоскости отражаются на до-плоскость, удобно использовать запись комплексного числа в декартовых координатах:
u-\-iv — —}-r~ . (6-71)
x+iy v ' 270 ГЛАВА 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ІП
Умножим числитель и знаменатель в первой части последнего равенства на z* и затем приравняем реальные и мнимые части
X у
H = -XT-T. V= —
(6.72)
Jfl » jfl + yi
_ 11 - v
Х - U2 + v2 ' 2-ft>2
Как известно, окружность на z-плоскости с центром в начале координат описывается уравнением
x* + tf=*r\ (6.73)
которое с помощью (6.72) приводится к виду
«2 , о2
(аа^0а)2"г (ца + 02)8 Упростим это соотношение:
= /-2. (6.74)
W2 + и2 = ^ = р2. (6.75)
