Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Г Л А В А I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Рассмотрим далее произведение
(А X В). (А X В) = A2B2 - (А. В)2 = = A2Bi- A2B2 cos2 9 - A2B2 sin2 Э, (1.38)
откуда
С = AB sin 6. (1.39)
В уравнении (1.38) мы разлагали векторное произведение А X В на компоненты в виде (1.33) и затем использовали формулы скалярного произведения (1.22). Из уравнений (1.36), (1.37) и (1.39) следует, что два определения векторного произведения (1.32) и (1.33) эквивалентны.
Остается теперь доказать, что C = AxB действительно вектор, т. е. подчиняется закону преобразования векторов (1.15). В повернутой системе координат
Ci = Aj Bh — AflBj = 2 OjiAi 2 CikmBm — 2 аы Ai S Cijm Bm =
Im Im
= S {ajlukm — CLhlCLjm) AiBmi (1.40)
1, 771
где t, /, k берутся в циклическом порядке. Выражение в скобках исчезает при т = I. Поэтому индексы / и к принимают определенные значения в зависимости от выбора і и шести комбинаций Ium. Если і — 3, то / = 1, k = 2 (циклический порядок), и мы получаем набор направляющих косинусов
^11^22 — Я2іЯі2 — fl33» ?l3?2i — ai3ail — а32і ^12^23 — 022^13 = #31
(1.41)
и соответствующих отрицательных величин. Уравнения (1.41) тождественно удовлетворяются при подстановке в них направляющих косинусов. Подставив (1.41) в уравнение (1.40), получим
Cg = 033^1? + CLszA3Bi + Ci3lAzB3 — U33A2Bi—CL32AiB3 —
—a3iAsBz = U3iCi -f Oi32C2 + а33С3 = 2 аъ пСп- (1-42)
п
Переставляя индексы, получаем C1 и C'2i после этого легко установить, что условие (1.15) выполнено и, следовательно, С действительно вектор. Необходимо подчеркнуть здесь, ТО векторная природа векторного произведения непосред-1.4. векторное произведение
25
ственно связана с трехмерностью нашего пространства *. В гл. 3 показано, что векторное произведение можно трактовать как антисимметричный тензор второго ранга.
Упражнения
1. Даны векторы A = 2i + 4j-j-6k и В == Зі—3j—5k. Определить скалярное и векторное произведения А*В и Ax В.
2. Показать, что (А—В).(А4-В) = Л2—^ (A—B)x (A + B) = ^ 2А X В, Необходимые для этих доказательств формулы
А.(В + С) = А.В + А.С, Ах(В + С) = АхВ+АхС
легко проверить, разлагая векторы на компоненты в декартовой системе координат.
3. Координаты вершин треугольника заданы точками (2, 1, 5), (5, 2, 8) и (4, 8, 2). С помощью векторного анализа определить площадь треугольника.
4. Даны три вектора P = 3i+2j — k, Q= —6i—4j+2k, R = i — — 2j — к. Определить, какие два из них взаимно перпендикулярны и какие два параллельны или антипараллельны друг другу.
Рис. 1.12. Сферический треугольник.
5. Используя векторы P= і cos 0-f-j sin 6, Q = і cos<p— jsinq>, R— і cos <p-j-j sin<p, доказать известные тригонометрические формулы
sin (Є + ф) = sin Є cos <p-j- cos 9 sin q>, cos (0 + q>)^cos 6 cos ф—sin Є sin <p.
* ,Соотношения (1.41) справедливы только для трехмерного р остр а нств а.26 Г Л А В А і. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
6. Определить вектор А, перпендикулярный к векторам
U = 2i + j-k, V = і—j + k.
Каким должен быть вектор А, если дополнительно потребовать, чтобы он по абсолютной величине был равен единице?
7. Четыре вектора а, Ь, с и d лежат в одной плоскости. Показать, что (axb)x(cxd)~0. Замечание. Обратить внимание на направления векторных произведений.
8. Найти стороны и углы сферического треугольника ABC '
(рис. 1.12), определенного векторами А=(1, 0, 0), В=(і/^/2,0, l/]/2),
С = (0, l/j/2, 1 /]/?. Начало каждого вектора совпадает с началом координат.
9. Магнитная индукция В определена уравнением Лоренца
F-?(VX В),
где V—скорость электрического заряда q, a F-сила, действующая на заряд.
При выполнении трех экспериментов установлено, что: 1) v=i, Ffq-— 2k—4j; 2) V = j, F/q = 4\ — k; 3) v = k, Ffq^j- 2i. По результатам этих экспериментов найти магнитную индукцию. Ответ: В-= i+2j + 4k.
" 1.5. СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ТРЕХ ВЕКТОРОВ
В разд. 1.3 и 1.4 было рассмотрено два типа перемножения векторов. Однако имеются комбинации трех векторов, А-(В X С) и А X (В X С), которые встречаются довольно часто, и поэтому их целесообразно рассмотреть дополнительно. Комбинация векторов А-(В X С) известна как смешанное произведение. Произведение BxC дает вектор, который затем умножается на вектор А, в результате получается скаляр. Заметим, что (A-B) X С есть умножение скаляра на вектор, а такая операция еще не определена. Поэтому заранее условимся не рассматривать данную операцию, тогда можно опустить скобки и записать смешанное произведение в виде A-B X С.
Используя формулу (1.33) для векторного произведения и формулу (1.22) для скалярного произведения, получаем
A-B X С-Ax (ByCz-BzCy) + Ay (BzCx-BxCz) +
+ At (BxCy - ByCx) = B-CxA-C-AxB = = -A CxB= -C-BxA = -B-AxC и т. д. (1.43)1.5. СМЕШАННОЕ И ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 27
Следует отметить высокую степень симметрии в записи (1.43) через компоненты векторов. Каждый член содержит множители A і, Bj и Ck- Если индексы і, / и k располагаются в циклическом порядке относительно X, у, г, то член имеет положительный знак. Если эти индексы расположены