Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 69

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 185 >> Следующая


oo

I = -J= j е-«"/, (г) & = *(»)¦ (6.39)

—оо

Этот результат (при а оо) доказывает обратное преобразование Фурье.

Упражнения

1. Доказать, что л

§ (Z-Z0)ndz= j

2л/ п— — 1, О пф-1, 6.4. РЯД ЛОРАНА

259

где контур С—окружность с центром В топке Z-Zo, обход контура совершается в положительном направлении (против часовой стрелки), /г—целое.

2. Доказать, что | /п (г0) | <1 MnlIRn1 где R-радиус окружности с центром и точке Z- Zo, a M^ntax lf(z)j на этой окружности. Предполагается, что / (z) аналитична внутри круга и на его границе.

3. Доказать, что f (z) должна быть постоянной при любых z, если она аналитична и ограничена [f(z)<!M] (теорема Лиувилля).

4. Рассмотреть упр. 2 к разд. 6.2, разбив подынтегральную функцию на части и применив затем интегральную теорему Коши к многосвязной области.

5. Вычислить интеграл (^) S1"Z dz при положительном обходе

любого контура C1 включающего начало координат.

6. Предполагая, что / (z)~аналитическая внутри замкнутого контура С, а точка Z0 лежит также внутри этого контура, показать, что

С С

7. Показать, что для всех точек, лежащих внутри замкнутого контура С, [/(Z)^M, если / (z) аналитична и отлична от нуля в этой области (и непрерывна на С), и, кроме того, |/(z)|>M на контуре С. Указание. Рассмотреть w(z)~\/f(z). Показать, что для f{z)=u всюду внутри области это утверждение теряет силу. Приведите конкретный пример аналитической функции, которая ведет себя подобным образом,

8. Доказать, что символ Кронекера Ьтп представляется интегралом

~ (^) zm~1l~ldz1 т и п—целые.

Обход контура Интегрирования, внутри которого содержится начало координат, совершается против часовой стрелки.

6.4. РЯД ЛОРАНА

Ряд Тейлора. Интегральная формула Коши, полученная в разд. 6.3, дает возможность для нового подхода к рядам Тейлора (см. разд. 5.6), однако в этом случае исследуемые функции должны зависеть уже от комплексных переменных. Попытаемся разложить функцию f (z) в окрестности точки Z — Z01 причем известно, что z = Zi — ближайшая точка на комплексной плоскости, в которой f (г) неаналитична (рис. 6.9). Проведем окружность С с центром в точке Z = Z0 радиусом | z' — Z0 I < I Z1 — Z0 |. Поскольку по условию Z1 есть ближайшая точка, в которой функция

17* 260 г Л А В А '6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО f

f (г) неаналитична, f (г) должна быть аналитической внутри С. Из интегральной формулы Коши (6.26) следует:

U \= 1 ? FW) dz' г f(z') dz'

і у z'-z (z'-zo)-(z-

2ш§(г'-

c

I (г') dz'

го)

го) [I—(г—го)/(г' —?o)J '

(6.40)

где г' — точка, лежащая па контуре Ct а г — любая точка внутри С. Поскольку биномиальная теорема для комплексного переменного еще не доказана, с ее помощью нельзя разложить знаменатель подынтегрального выражения в соотношении (6.40). Вместо этого воспользуемся тождеством

1

1-/

-1-И-ИЧ-/Ч-

oo



Ti=O

Рис. 6.9. Область аналитичности которое ЛЄГКО проверяется функции f (Z): I Z - Zol < I Zi- Zb|. умножением обеих его частей на 1 — t. Очевидно (см. разд. 5.2), что этот бесконечный ряд сходится при | t |< 1.

Для точки Zt лежащей внутри контура Ct | г — Z0 | < <| zf—z0t поэтому с учетом (6.41) выражение (6.40) принимает вид

со



С п=0

Изменив порядок интегрирования и суммирования (это можно сделать, так как ряд (6.41) равномерно сходиуся при I t I < 1), получим '

oo

H=O с

f (Z') dz'

¦?o)n+1 *

(6.43) 6.4. РЯД JIOPAIIA

261

Учитывая (6.30), исключаем интеграл из последнего выражения:

со

f(z).,2(z-Z<))«rpL. (6.44)

п=0

Это и есть искомое разложение в ряд Тейлора. Отметим, что оно получено только в предположении аналитичности / (г) в круге I г — Z0 | < | z, — Z0 |. Как и в случае степенного ряда для функции вещественной неременной (см. разд. 5.7), полученное разложение единственно в данной точке Z0.

Аналитическое продолжение. В предыдущем изложении предполагалось, что функция / (z) имеет изолированную точку Z = Zh в которой она неаналитична или сингулярна, (см. рис. 6.9). Рассмотрим функцию

f(2)"=rh. ! (6-45)

которая обращается в бесконечность в точке Z = — 1. Следовательно, f (z) неаналитична в точке Z1 = — 1 или, иными словами, Z1 = — 1 есть особая точка функции f (z). Воспользовавшись разложением (6.44) или биномиальной теоремой для комплексных функций, которая вытекает непосредственно из этого разложения, получим ряд

OO

=,1-?-И»-г*-I-... - S (-l)V, (6-46)

п=0

сходящийся в круге I Z I < 1 (рис. 6.10). Обозначим границу этого круга сходимости Cit тогда функция f (z) пред-ставима рядом (6.46) в области, которая ограничена Ci и которую мы обозначим Si. Функцию f (z) можно разложить в ряд в окрестности начала координат только в области Si (и на границе Cit исключая точку Zi --•- — 1), однако из самого вида f (z) ясно, что она определена и аналитична на всей комплексной плоскости вне области Sh Аналитическое продолжение функции заключается в расширении области, в которой эта функция представима рядом (6.46). Например, мы разложили f (z) в окрестности точки г = і:
Предыдущая << 1 .. 63 64 65 66 67 68 < 69 > 70 71 72 73 74 75 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed