Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
oo
I = -J= j е-«"/, (г) & = *(»)¦ (6.39)
—оо
Этот результат (при а оо) доказывает обратное преобразование Фурье.
Упражнения
1. Доказать, что л
§ (Z-Z0)ndz= j
2л/ п— — 1, О пф-1,6.4. РЯД ЛОРАНА
259
где контур С—окружность с центром В топке Z-Zo, обход контура совершается в положительном направлении (против часовой стрелки), /г—целое.
2. Доказать, что | /п (г0) | <1 MnlIRn1 где R-радиус окружности с центром и точке Z- Zo, a M^ntax lf(z)j на этой окружности. Предполагается, что / (z) аналитична внутри круга и на его границе.
3. Доказать, что f (z) должна быть постоянной при любых z, если она аналитична и ограничена [f(z)<!M] (теорема Лиувилля).
4. Рассмотреть упр. 2 к разд. 6.2, разбив подынтегральную функцию на части и применив затем интегральную теорему Коши к многосвязной области.
5. Вычислить интеграл (^) S1"Z dz при положительном обходе
любого контура C1 включающего начало координат.
6. Предполагая, что / (z)~аналитическая внутри замкнутого контура С, а точка Z0 лежит также внутри этого контура, показать, что
С С
7. Показать, что для всех точек, лежащих внутри замкнутого контура С, [/(Z)^M, если / (z) аналитична и отлична от нуля в этой области (и непрерывна на С), и, кроме того, |/(z)|>M на контуре С. Указание. Рассмотреть w(z)~\/f(z). Показать, что для f{z)=u всюду внутри области это утверждение теряет силу. Приведите конкретный пример аналитической функции, которая ведет себя подобным образом,
8. Доказать, что символ Кронекера Ьтп представляется интегралом
~ (^) zm~1l~ldz1 т и п—целые.
Обход контура Интегрирования, внутри которого содержится начало координат, совершается против часовой стрелки.
6.4. РЯД ЛОРАНА
Ряд Тейлора. Интегральная формула Коши, полученная в разд. 6.3, дает возможность для нового подхода к рядам Тейлора (см. разд. 5.6), однако в этом случае исследуемые функции должны зависеть уже от комплексных переменных. Попытаемся разложить функцию f (z) в окрестности точки Z — Z01 причем известно, что z = Zi — ближайшая точка на комплексной плоскости, в которой f (г) неаналитична (рис. 6.9). Проведем окружность С с центром в точке Z = Z0 радиусом | z' — Z0 I < I Z1 — Z0 |. Поскольку по условию Z1 есть ближайшая точка, в которой функция
17*260 г Л А В А '6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО f
f (г) неаналитична, f (г) должна быть аналитической внутри С. Из интегральной формулы Коши (6.26) следует:
U \= 1 ? FW) dz' г f(z') dz'
і у z'-z (z'-zo)-(z-
2ш§(г'-
c
I (г') dz'
го)
го) [I—(г—го)/(г' —?o)J '
(6.40)
где г' — точка, лежащая па контуре Ct а г — любая точка внутри С. Поскольку биномиальная теорема для комплексного переменного еще не доказана, с ее помощью нельзя разложить знаменатель подынтегрального выражения в соотношении (6.40). Вместо этого воспользуемся тождеством
1
1-/
-1-И-ИЧ-/Ч-
oo
Ti=O
Рис. 6.9. Область аналитичности которое ЛЄГКО проверяется функции f (Z): I Z - Zol < I Zi- Zb|. умножением обеих его частей на 1 — t. Очевидно (см. разд. 5.2), что этот бесконечный ряд сходится при | t |< 1.
Для точки Zt лежащей внутри контура Ct | г — Z0 | < <| zf—z0t поэтому с учетом (6.41) выражение (6.40) принимает вид
со
С п=0
Изменив порядок интегрирования и суммирования (это можно сделать, так как ряд (6.41) равномерно сходиуся при I t I < 1), получим '
oo
H=O с
f (Z') dz'
¦?o)n+1 *
(6.43)6.4. РЯД JIOPAIIA
261
Учитывая (6.30), исключаем интеграл из последнего выражения:
со
f(z).,2(z-Z<))«rpL. (6.44)
п=0
Это и есть искомое разложение в ряд Тейлора. Отметим, что оно получено только в предположении аналитичности / (г) в круге I г — Z0 | < | z, — Z0 |. Как и в случае степенного ряда для функции вещественной неременной (см. разд. 5.7), полученное разложение единственно в данной точке Z0.
Аналитическое продолжение. В предыдущем изложении предполагалось, что функция / (z) имеет изолированную точку Z = Zh в которой она неаналитична или сингулярна, (см. рис. 6.9). Рассмотрим функцию
f(2)"=rh. ! (6-45)
которая обращается в бесконечность в точке Z = — 1. Следовательно, f (z) неаналитична в точке Z1 = — 1 или, иными словами, Z1 = — 1 есть особая точка функции f (z). Воспользовавшись разложением (6.44) или биномиальной теоремой для комплексных функций, которая вытекает непосредственно из этого разложения, получим ряд
OO
=,1-?-И»-г*-I-... - S (-l)V, (6-46)
п=0
сходящийся в круге I Z I < 1 (рис. 6.10). Обозначим границу этого круга сходимости Cit тогда функция f (z) пред-ставима рядом (6.46) в области, которая ограничена Ci и которую мы обозначим Si. Функцию f (z) можно разложить в ряд в окрестности начала координат только в области Si (и на границе Cit исключая точку Zi --•- — 1), однако из самого вида f (z) ясно, что она определена и аналитична на всей комплексной плоскости вне области Sh Аналитическое продолжение функции заключается в расширении области, в которой эта функция представима рядом (6.46). Например, мы разложили f (z) в окрестности точки г = і: