Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнения
I. Используя выражение / (reie) = R (г, Є)е*0(г'0), где R (г, 9) и в (г, 0) — вещественные функции, показать, что условия Коши— Римана в полярных координатах имеют вид
dR R дв dR _RdQ
дг -г dO ' rdO дг '
2. Пусть Л = д2ю/дх2, B-Wwldx ду, C = Wwfdyi. Как известно, функция двух переменных W (х, у) имеет седловую точку, если Bi—4ЛС>0. С помощью условий Коши—Римана показать, что ни «(*, у), ни v(x, у) не имеют экстремума в любой ограниченной области комплексной плоскости, причем f(z)~u(x, y)-\~iv(x, у).
3. Функции и (х, у) и V (х, у) представляют соответственно реальную и мнимую части аналитической функции w(z). Предполагая существование нужных производных, показать, что
л ди ди . dv dv л
Дать геометрическую интерпретацию.
4. Убедившись сначала, что реальная и мнимая части и (х, у) и V (х, у) аналитической функции w (z) каждая в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, показать, что и (х, у) и v (х, у) не могут иметь ни максимума, ни минимума внутри любой области аналитичности функции w (г) (но могут иметь седловые точки). •248 ГЛАВ Л 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО I
5. Записать в явном виде аналитическую функцию ic>(z) —
= и (*, y)-\-iv (х, у), для которой и (х, у) -- x3Sxy2, V (х, y)---c~usinx.
6. Выделить реальную и мнимую части функции z2+ 2z+l, Ifzt (2-1)/(2+1).
7. Показать, что комплексные числа имеют квадратные корни, расположенные на комплексной плоскости.
8. Функции Wi = U (X1 1/) + Л>(*, у) и ИУ2 — СУ* == M (дг, y) — iu(x, у) имеют некоторую общую область аналитичности. Показать, что и (х, у) к о (х, у) постоянны.
9. Взяв за основу полярное представление комплексных величин, вывести формулу Муавра (cos 0-| / sin 0)n—cos лО И sin лО, л--целое.
10. Пусть тригонометрические и гиперболические функции комплексного аргумента определены с помощью степенных рядов
СО OO
sin z= 2 COSZ= 2 (-Uny2TT".
Tl=I, нечет п=(), чет
со
sh2== S Tpchz= S Ir-
п=1, нечет п=0,чет
Доказать, что і sin z - - sh iz, sin iz~i sli z, cos z—ch iz, cos iz- ch z. Убедиться, что в комплексной плоскости имеют место известные функциональные зависимости
ег-{- е-2
ch г = —^-, sin (Z1+ г2) = sin Z1 cos Z2 + sin Z2 cos Z1.
giz і е-іг еіг_е-іг
11. Тождества cos z —-т-, sin z —-—-, можно полу-
чить сравнением степенных рядов. Показать, что
sin (х + і у) — sin X ch у + і cos X sh yt cos (x + і у) = cos X ch у— і sin X sh //,
I Sin Z I2 = Sin2 X + sll у, I COS Z I2 = COS2 X + sh2 y.
12. Определить нули функции Sinz, cos z, sh z, ch z.
13. Показать, что
aresin Z = і In («± VF1Tz2), Arshz=In (z+ Vz2 + l), arccosz= —і In (г ± ]/z2 -1), Archz= In (г + Vz2-Oi ec«gz=|ln(-i±i). ArthZ=I In (i±l) .
Указание. Выразить тригонометрические и гиперболическиеГфунк-ции через показательную, а затем решить алгебраическое уравнение относительно этой функции,o.2. интегральная теорема коши
249
.14. Доказать, что N-і
2smN(x/2) ... X cos «л-=-^ cos (V — 1) — ,
n = \) sin "2"
N- 1
Ssin /V (xf2) . ,.. .. X s,n n X =--sill (/V- 1) -y .
n—о si" ~2
Эти ряды встречаются в анализе многощелевой дифракции. 15- При условии — 1 < р < 1 доказать, что
OO OO
1 — P COS X ^n ______ р sin X
______ t 2j
71 = О n=0
En 1—PCOS* Xl « • P Sin Л P71COSnx--—-j—-, >. PnSmnx=-5—--1—г.
1—2р cos я +р2 ^-1 1—2р cos х + р2
Эти ряды возникают в теории интерферометра Фабри—Пьеро.
16. Комплексные величины а — и-f-iv и b~x-\-iy можно представить в виде двумерных векторов а=іи-)-ІУ, Ъ = [х~\-)у. Показать, что a*b = a-b-} i | а X b |.
17. Записать в явном виде аналитическую функцию w(z)~
= U (*, у) + iv [X, у), если и (X, у) = In (*2 -I- ^2)1/2.
18. Доказать тождество, которое встречается в квантовой теории фотоионизации:
/іа— l\io__-
U+ W
g—2b arcctg а
19. Доказать, что | Zi -f I4C 1 I +1 H I« Объяснить этот результат, используя правила сложения векторов.
6.2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
Это первая из двух основных теорем в теории функций комплексного переменного. Мы докажем ее при сравнительно грубых допущениях, которые не совсем корректны с точки зрения строгой математической теории, но которые, как правило, сопутствуют различным физическим задачам.
Если функция f (г) аналитинна (следовательно, однозначна) в некоторой односвязной * области R (рис. 6.3)
* Область называется односвязной, если любой замкнутый контур в этой области содержит внутри себя только точки, принадлежащие этой области. В противном случае область называется многосвязной. Примером многосвязной области может служить плоскость г, из которой исключен круг единичного радиуса.250 г JI А В А 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЮ ПЕРЕМЕННОЮ I
и имеет в ней непрерывные частные производные, то для всех замкнутых кривых CeR линейный интеграл, взятый
Рис. 6.3. Замкнутый контур С внутри односвязной области.
от функции f (z) по кривой Ct равен нулю:
j f(z)dz = §f(z)dz = 0.*
(6.18)
с с
В такой форме интегральную теорему Коши можно доказать с помощью теоремы Стокса. Представим /(г) = = и (xt y) + iv(x, у), тогда