Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
X — г cos 0, у = г sin 6, (6.2)
Z = г (cos е + і sin 0). (6.3)
Используя результат, полученный в разд. 5.6*, перейдем к часто встречающемуся полярному представлению ком-
* Строго говоря, содержание гл. 5 ограничено вещественными переменными. Однако и для комплексного г можно определить ez
со
как 2 Разложение комплексных функций в ряд рассматривается
п— о в разд. 6.4.
16*244 f Л A ? А 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕ|>ЁМЁННОГО 1
плексного числа
Z =5 г ei0,
(6.4)
где г — модуль комплексного числа z, а угол 9 — аргумент или фаза z. Следует отметить большую аналогию
между комплексными числами и двумерными векторами (см. гл. 1), которые тоже можно определять заданием точки (х, у). Это сходство использовано в разд. 6.2 в интегральной теореме Коши.
По аналогии с комплексной переменной за-х х писываются комплек-
Рис. 6.1. Комплексная плоскость. ch^ функции f (г) или
W (z). Эти функции
тоже можно разбить на реальную и мнимую части
W (г) = и (х, у) + iv (х, у), (6.5)
где и (х} у) HV (х, у) — функции действительных аргументов. Например, если / (z) — z2, то
f (Z) = (X + iy)2 = (X2 - у2) + cIixy.
Для всех введенных понятий (комплексное число, переменная, функция) операция замены і на —і называется комплексным сопряжением. Величина, полученная комплексным сопряжением z, обозначается как z*, где
x — iy.
(6.6)
Комплексно-сопряженная z* является зеркальным отраже-жением относительно оси X комплексной переменной Z или инверсией координаты у (рис. 6.2). Произведение
22* = (х + iy) (х - iy) ¦= X2 + у2 = г2,
отсюда Yzz* -= I z\.
Определим теперь операцию дифференцирования. По аналогии с обычными функциями производная функции f(z)&.і. Услоізйя кошм - ї'йманА
O45
определяется как
Iim^ ilmV?U?ИЛЙr (г) (б<7)
oz-0 Z + 6z-2
OZ->0
dz
при условии, что предел не зависит от способа приближения к точке Z.
Jf1
^^ \9
^J9 X
кроме того, так что
Рис. 6.2. Комплексно-сопряженные точки.
Рассмотрим приращения Sx и б у переменных х и у, тогда
6z = б x+iby, (6.8)
б/ = Su + iSu, (6.9)
of бм -[- iov /A 1т
Предельный переход, указанный в (6.7), можно осуществить двумя различными способами. Во-первых, при фиксированном Sy = О берется предел Sx 0, тогда уравнение (6.7) имеет вид
,. 6/ ,. / би . . би \ ди . . dv /с 11 ч
lim-rb=: lim U- +1 — + (6.11)
бг-ч-О 02 бх—0 ^ 0 0 0 0
Здесь предполагается существование частных производных. Во вторых, положим ojc ~ 0, a Sy —» 0, тогда
,. б/ ,. ( . 6« . би \ . du , dv /а і П\ lim — = Iim -j-*--Hir- ==-з—Ь-л-. (6.12) бг->0 02 ву-*о V Sy [ Ьу} ду ду v '246 ГЛАВА, 6. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПНР именного I
Чтобы производная dffdz была определена, нужно потребовать тождественность уравнении (6.11) и (6.12). Приравняв соответственно реальные и мнимые части (подобно компонентам векторов), получим условия Коши — Римана
ди __ dv du dv . «v
дх ~~ ду ' ду ~~ дх \ ' )
Эти условия были сформулированы Коши и широко использовались Риманом в теории аналитических функций. Условия Коши — Римана являются необходимыми для существования производной функции f (z), т. е. если dfldz существует, то условия Коши — Римана выполняются.
Обратно, если условия Коши — Римана выполнены и частные производные непрерывны, то производная существует. Докажем это. Пусть
<6Л4>
Образуем теперь отношение bf/bz и поделим числитель и знаменатель на дх:
б/ _du/dx + i{dv/dx) Г j ¦ ду / до/ду—і [ди/ду) \1 /Г іГ\ 6-2 1-й(6///6*) L h бх \ ди/дх + і(ди/дх) jj' ^ 0'
В силу условий Коши —Римана (6.13)
dv/dy — i (іди/ду) _ 1
диІдх + і{до/дх)~ ^0,10'
и 70
6/ du , . du ta
откуда видно, что lim dfldz не зависит от пути перемеще-
б2->0
ния в комплексной плоскости, если частные производные непрерывны.
Условия Коши — Римана обеспечивают ортогональность семейства кривых и = C1 и v = C2 (см. разд. 2.1). Этот вывод имеет фундаментальное значение в теории потенциала. Если, например, и = Ci — линия электрического поля, то V = с2 представляет собой эквипотенциальную линию (поверхность), и наоборот. В упр. 3 приведен пример на дальнейшее развитие этой концепции в теории потенциала.6.1. УСЛОВИЯ КОШИ - РИМАНА
247
Аналитические функции. Функция f (z), дифференцируемая в точке г = Z0 и в некоторой малой окрестности этой точки, называется аналитической в точке z = Z0. В современной физике понятие аналитичности встречается очень часто, например в дисперсионной теории элементарных частиц. Значение этого понятия очень велико. Если f (z) не имеет производной в точке Z = Z0, то Z0 называется особой точкой (см. разд. 7.1).
Для иллюстрации условий Коши — Римана рассмотрим два очень простых примера.
Пример I. Пусть /(г) =Z2. Тогда и(х, — а
у) — 2ху. Из условий Коши—Римана
ди/дх=2х — dvfdy, ди/ду — — 2у = — ди/дх.
Очевидно, f(z) = z2 удовлетворяет условиям Коши— Римана всюду на комплексной плоскости. Из непрерывности частных производных вытекает аналитичность функции f(z)=z2.
Пример 2. Пусть f(z)~z*. Теперь и—х, a v——y, откуда ди/дх— 1 Ф ди/ду, т. е. условия Коши—Римана не выполнены, и поэтому f(z) = z* не является аналитической функцией.