Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
2л
чается интеграл / = j cos (с cos <р) гіф, Разложить подынтегральную
О
функцию в ряд и проинтегрировать, используя формулы 2л 2я
j COS2» ф гіф = -Jj^jL 2л, j COS2«+l ф гіф = 0.
о о
Интеграл / равен удвоенной функции Бесселя Jо (л).
4. Согласно теории переноса нейтронов, для обратной длины
д _ Jj ?
диффузии k имеем —г—arcth—=1. Представить ?2 в виде ряда
к a
по степеням Ь/а. Привести первые два члена ряда. Ответ: fe2=Заб ^ 1 —~ J .
5. Получить разложение arcsh* по степеням х, разлагая в ряд Маклорепа и производя инверсию ряда для sh у.
6. Найти первые три члена ряда, в виде которого отыскивается решение ? (I г) уравнения
•(а$ + 1) ?2-r2) = r^,
возникающего при вычислении силы, действующей на точечный заряд со стороны проводящей заряженной сферы.
Ответ: ? = г (і+^ТД+ •.•) .
7. Коэффициент деполяризации L для сплющенного эллипсоида в однородном электрическом поле, параллельном оси вращеиия (см. разд. 12.10), равен
' 1 (1+Ю (I-Coarectg Со),
Ч
где параметр ?о определяет сплющенный эллипсоид в системе координат сплющенного сфероида ф. Показать, что для сферы
lim L = 1/38o, для тонкой пластины Iim L = l/gq.
8. Соответствующий коэффициент деполяризации (предыдущее упражнение) для вытянутого эллипсоида равен
.-і«-., •
Показать, что для сферы Iim L = l/Зєо, для длинной нити
Iim L = 0. по-* о 5.8. ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
227
оо
9. Степенной ряд f(x)= 2 апхП сходится в интервале — Я<
п=о
<х<#. Показать, что ряды, полученные дифференцированием и интегрированием этого ряда, имеют тот же самый интервал сходимости (концы интервала х = исключаются).
10. Сечение фотоионизации водорода в состоянии 15 содержит функцию
/(*) = 2лх~і/2
e-4?arcctg| !-є"23*
где 1 = (,-1)-^2, a Xag ПЗНЄРГИЯ Ф°Т0На . Разложим функцию * 4 ' ' Пороговая энергия
f (х) по отрицательным степеням х1/2 (фотоны высокой энергии) и по положительным степеням (х—\) = 1~2 (энергия близка к пороговой). Получить только первые три члена разложения.
Ответ
/(х)=2ле-4х-1/2[ l+l(x-l) + i(*-l)2+...] f F(X) = 2ле-4х5/0 ^l-I(JC-I)S+ ... j .
5.8. ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
Числа Бериулли определяются несколькими эквивалентными способами, причем различные авторы определяют их по-разному. Один из сравнительно простых способов'опредедения чисел Бернулли связан с разложением в ряд функции
со
e-^rS^T- (5.124)
TJ=O
Дифференцируя этот степенной ряд и полагая затем х = О, получаем
в частности
= "(^=H)"Lo= (5Л26)
Этот результат получается после разложения в ряд знаменателя. Производные неудобны для вычислений, поэтому
15* 228 ' Г Л Л В А 5. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
преобразуем (5.124):
+ + ... j = 1.
(5.127)
Воспользовавшись теоремой единственности и положив коэффициент B0 = а коэффициенты при хп равными нулю, получим
1 B0-I-Bi = O, В J--I
2! и ' 1 1 2
(5.128)
Продолжим эту процедуру:
П 1 П__1 D __1
~ 30' ^-'"IS"1 ?8~"™3o
BiO = ^r, В
5 „ 691
Чо - 6б , "12 - 2730 ' ^2/н і " 0 п 1; 2, 3, ...
(5.129)
Другое (эквивалентное) определение B2n задается выражением
OO
XCtgx= 2 (-1)"? W-, -лсхся. (5.130)
п=0
Используя теорию вычетов или представление sin JC в виде бесконечного произведения (см. разд. 5.9), получаем представление чисел Бернулли, найденное Эйлером:
4 00
\П— Ir
'W 2 Р~2". tt-= I1 2, 3.. ¦ (5.131)
* P=I
Из (5.131) очевидно, что | B2n | неограниченно возрастают при о. Чтобы проиллюстрировать расходимость
чисел Бернулли, приведем значения
B2O = 5,291 • IO2, B200 = 3,647.IO215. (5.132)
Некоторые авторы предпочитают определять числа Бернулли в такой форме:
OO
Ь"=W 2 г™ (5ЛЗЗ)
P= і 5.8. ЧИСЛА ПЕРІ ІУ Jl JIH
229
Здесь индекс числа в два раза меньше и все знаки положительны. Вновь обращаем внимание читателя на то, что при работе с литературой нужно знать, каким образом определены числа Вернул ли.
Числа Бернулли часто встречаются в теории чисел. Теорема Штандта — Клаузена утверждает, что
D2n = An—!---!---!—...—(5.134)
Pi Pz Рз Pk v '
где An — некоторое целое число, a P1, р2» • • • > Pk — nP0-стые числа, такие, что р — 1 является делителем 2п. Легко проверить, что это выполняется для
Bq (A3 = 1 ,р- 2-, 3, 7), B8 (Ak =I1P=I1 3, 5), Bio (A5= 1, р = 2, 3, 11),... (5.135)
Числа Бернулли возникают также при суммировании
N
целых степеней натуральных чисел 2 Р\ P — целое, а такі—і
же, в разложениях трансцендентных функций tgx, In| cos x\t ctg xt In I tg je I, cosec X, th X, In | sin x I, cth x, csh x.
В разд. 10.3 мы вновь встретимся с числами Бернулли при представлении гамма-функции асимптотическим рядом. Числа Бернулли возникают в таких разложениях благодаря определяющим уравнениям (5,124) и (5.130), а также благодаря их связи с дзета-функцией Римана
OO
с (2л)= 2 р-2'1. (5.136)
р=1
OO
Дзета-функция Римана. Ряд 2 р_2Л мы уже использо-
р=1
вали в сравнительном признаке сходимости (см. разд. 5.2), а также в уравнении (5.131) для определения чисел Бернулли. Этим же рядом задается и дзета-функция Римана
