Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 60

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 185 >> Следующая


n-юо ап

то ряд сходится для -R < X < R. Величина R называется радиусом сходимости. Оба признака перестают работать, если R= 1, поэтому концы интервала требуют дополнительного исследования. Пусть, например, ап = /г-1, тогда R = 1, и (см. разд. 5.1 — 5.3) ряд сходится при х = —I, но расходится при х = +1. Если же ап = /г!, тогда Я = О и ряд расходится для всех л: =^ 0.

Равномерная и абсолютная сходимость. Предположим, сходимость ряда (5.109) установлена для интервала —R; в этом случае ряд будет сходиться равномерно и абсолютно в любом внутреннем интервале — S ^ х ^ S, где О<S<R.

* Соотношение (5.109) можно переписать, заменяя х на г = ==х+ iy. Ниже исследуется равномерная сходимость, интегрируемость и дифференцируемость иа комплексной плоскости. 5.7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

223

Это утверждение можно доказать непосредственно с помощью признака Вейерштрасса, положив Mi = | at |.

Непрерывность. Поскольку каждый член ип (дг) = апхп —

непрерывная функция х и / (*) — 2 ап*п равномерно сходится в интервале — 5 дг^ 5, функция f (х) должна быть непрерывной в интервале равномерной сходимости.

Дифференцируемость и интегрируемость. Если Un (дг) —

непрерывные функции и ^anXn равномерно сходится, то этот ряд можно дифференцировать и интегрировать, причем полученный ряд также будет степенным с непрерывными членами, кроме того, он будет равномерно сходиться в том же интервале, что и первоначальный. Само по себе дифференцирование или интегрирование не нарушает признаков сходимости. Поэтому степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать в интервале равномерной сходимости (см. упр. 9).

В связи с различными ограничениями, налагаемыми на дифференцируемый ряд (см. разд. 5.5), последний вывод представляется довольно неожиданным и весьма ценным.

Теорема единственности. Выше, воспользовавшись рядом Маклорена, мы разложили е* и In (1 дг) в бесконечный ряд. В дальнейшем мы часто будем иметь дело с функциями, представленными бесконечными рядами, или будем отыскивать ту или иную функцию в виде ряда. Докажем, что представление в виде степенного ряда единственно. Предположим, что

внутри перекрывающихся интервалов сходимости, включающих начало координат. Докажем, что для всех п

(5.111)

Cln- Ьп.

Из (5.111) следует

(5.112)

/ 2 ^n- 2 Ьпхп, —R <.x<.R,

СО OO

OO

(5.113)

TI=O Tl=O т

Г JI А В А 5. ЙЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ



где R меньше Ra и Rb. Полагая дс = 0, получаем

а0 = Ь0. (5.114)

Далее воспользуемся дифференцируемостыо степенного ряда и продифференцируем уравнение (5.113):

OO со

% MnXn-1= S HbnXn-K (5.115)

Tl= і Tl= 1

Опять, полагая х = 0, найдем

Q1 = (5.116)

Повторив эту операцию п раз, убедимся, что

ап = Ьп. (5.117)

Этим доказывается совпадение двух заданных рядов. Следовательно, представление степенным рядом единственно.

Представление функции степенным рядом часто оказывается полезным при раскрытии неопределенностей, особенно в тех случаях, когда неудобно пользоваться правилом Лопиталя (упр. 1).

Пример. Вычислим предел

Iim 1Tcosx, (5.118)

Разложим COSX в ряд Маклорена

1—cos X 1-(1-*2/21 -f х4/41 -...)^

X2 ~ X2 ~

х2/2!-х*/4!+... 1 *2

тогда ясно, что

21 4!+..., (5.119)

.. 1 — COSX 1 lom

Iim---=Т . (5.120)

ас—> О X* г

Инверсия степенного ряда. Предположим,

OO

- 2 Оп(х-хо)п, (5.1*21)

п=1

однако часто требуется выразить х—х0 через у—уо-Мы можем разрешить уравнение (5.121) относительно х — х0, 5.7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

225

делая инверсию заданного ряда. Допустим, что

OO

X-X0 = 2 Ьп(у-у0)п (5.122)

с коэффициентами Ьп, определенными через известные ап. Очевидный подход к отысканию коэффициентов, связанный, однако, с большой затратой сил и времени, состоит в подстановке выражения (5.121) в (5.122). Учитывая, что после такой подстановки уравнение (5.122) становится тождеством, и приравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях, имеем:

^1 = J-, ^=-І,

1 Cr1 u af

63 = -(2^-0^3),

"1

64 = \ (ба^аз — a\ak — 5а*), ...

aI

(5.123)

Однако такой метод определения коэффициентов Ьп пригоден только для вычисления первых нескольких коэффициентов. Несколько больше коэффициентов приведено в книге Двайта *. В разд. 7.3 предложен более общий и изящный метод, основанный на использовании комплексных переменных.

Упражнения

1. Вычислить

.. sin tgx—tgsin* .. n. , . 0

lim-2—=-2- и lim X nJn(X) для и = З,

ас -V О х ЭС-+0

где jn (х)—сферическая функция Бесселя (см. разд. 11.6), определяемая формулой

. , ч , ,ч« „ / d \п I sin X \

0твт: т и І-З-5..'(2П+І) ^TBO МЯ П=3-

2. Классическая теория парамагнетизма Ланжевена приводит к следующему выражению для магнитной поляризации:

ch X 1



* Два й т I ,Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. M., «Наука», 1966.— Прим. перев.

15-1257 226 'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ

Разложить P (х) в степенной ряд для малых х (слабые поля, высокая температура).

3. При исследовании дифракции от круглого отверстия встре-
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed