Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
n-юо ап
то ряд сходится для -R < X < R. Величина R называется радиусом сходимости. Оба признака перестают работать, если R= 1, поэтому концы интервала требуют дополнительного исследования. Пусть, например, ап = /г-1, тогда R = 1, и (см. разд. 5.1 — 5.3) ряд сходится при х = —I, но расходится при х = +1. Если же ап = /г!, тогда Я = О и ряд расходится для всех л: =^ 0.
Равномерная и абсолютная сходимость. Предположим, сходимость ряда (5.109) установлена для интервала —R; в этом случае ряд будет сходиться равномерно и абсолютно в любом внутреннем интервале — S ^ х ^ S, где О<S<R.
* Соотношение (5.109) можно переписать, заменяя х на г = ==х+ iy. Ниже исследуется равномерная сходимость, интегрируемость и дифференцируемость иа комплексной плоскости.5.7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
223
Это утверждение можно доказать непосредственно с помощью признака Вейерштрасса, положив Mi = | at |.
Непрерывность. Поскольку каждый член ип (дг) = апхп —
непрерывная функция х и / (*) — 2 ап*п равномерно сходится в интервале — 5 дг^ 5, функция f (х) должна быть непрерывной в интервале равномерной сходимости.
Дифференцируемость и интегрируемость. Если Un (дг) —
непрерывные функции и ^anXn равномерно сходится, то этот ряд можно дифференцировать и интегрировать, причем полученный ряд также будет степенным с непрерывными членами, кроме того, он будет равномерно сходиться в том же интервале, что и первоначальный. Само по себе дифференцирование или интегрирование не нарушает признаков сходимости. Поэтому степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать в интервале равномерной сходимости (см. упр. 9).
В связи с различными ограничениями, налагаемыми на дифференцируемый ряд (см. разд. 5.5), последний вывод представляется довольно неожиданным и весьма ценным.
Теорема единственности. Выше, воспользовавшись рядом Маклорена, мы разложили е* и In (1 дг) в бесконечный ряд. В дальнейшем мы часто будем иметь дело с функциями, представленными бесконечными рядами, или будем отыскивать ту или иную функцию в виде ряда. Докажем, что представление в виде степенного ряда единственно. Предположим, что
внутри перекрывающихся интервалов сходимости, включающих начало координат. Докажем, что для всех п
(5.111)
Cln- Ьп.
Из (5.111) следует
(5.112)
/ 2 ^n- 2 Ьпхп, —R <.x<.R,
СО OO
OO
(5.113)
TI=O Tl=Oт
Г JI А В А 5. ЙЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
где R меньше Ra и Rb. Полагая дс = 0, получаем
а0 = Ь0. (5.114)
Далее воспользуемся дифференцируемостыо степенного ряда и продифференцируем уравнение (5.113):
OO со
% MnXn-1= S HbnXn-K (5.115)
Tl= і Tl= 1
Опять, полагая х = 0, найдем
Q1 = (5.116)
Повторив эту операцию п раз, убедимся, что
ап = Ьп. (5.117)
Этим доказывается совпадение двух заданных рядов. Следовательно, представление степенным рядом единственно.
Представление функции степенным рядом часто оказывается полезным при раскрытии неопределенностей, особенно в тех случаях, когда неудобно пользоваться правилом Лопиталя (упр. 1).
Пример. Вычислим предел
Iim 1Tcosx, (5.118)
Разложим COSX в ряд Маклорена
1—cos X 1-(1-*2/21 -f х4/41 -...)^
X2 ~ X2 ~
х2/2!-х*/4!+... 1 *2
тогда ясно, что
21 4!+..., (5.119)
.. 1 — COSX 1 lom
Iim---=Т . (5.120)
ас—> О X* г
Инверсия степенного ряда. Предположим,
OO
- 2 Оп(х-хо)п, (5.1*21)
п=1
однако часто требуется выразить х—х0 через у—уо-Мы можем разрешить уравнение (5.121) относительно х — х0,5.7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
225
делая инверсию заданного ряда. Допустим, что
OO
X-X0 = 2 Ьп(у-у0)п (5.122)
с коэффициентами Ьп, определенными через известные ап. Очевидный подход к отысканию коэффициентов, связанный, однако, с большой затратой сил и времени, состоит в подстановке выражения (5.121) в (5.122). Учитывая, что после такой подстановки уравнение (5.122) становится тождеством, и приравнивая затем коэффициенты при одинаковых степенях, имеем:
^1 = J-, ^=-І,
1 Cr1 u af
63 = -(2^-0^3),
"1
64 = \ (ба^аз — a\ak — 5а*), ...
aI
(5.123)
Однако такой метод определения коэффициентов Ьп пригоден только для вычисления первых нескольких коэффициентов. Несколько больше коэффициентов приведено в книге Двайта *. В разд. 7.3 предложен более общий и изящный метод, основанный на использовании комплексных переменных.
Упражнения
1. Вычислить
.. sin tgx—tgsin* .. n. , . 0
lim-2—=-2- и lim X nJn(X) для и = З,
ас -V О х ЭС-+0
где jn (х)—сферическая функция Бесселя (см. разд. 11.6), определяемая формулой
. , ч , ,ч« „ / d \п I sin X \
0твт: т и І-З-5..'(2П+І) ^TBO МЯ П=3-
2. Классическая теория парамагнетизма Ланжевена приводит к следующему выражению для магнитной поляризации:
ch X 1
* Два й т I ,Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. M., «Наука», 1966.— Прим. перев.
15-1257226 'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
Разложить P (х) в степенной ряд для малых х (слабые поля, высокая температура).
3. При исследовании дифракции от круглого отверстия встре-