Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Разложить X по степеням t. Сравнить с классической формулой x = gty2.
6. Показать, что признак Раабе нельзя применять к ряду
'S(Alnn)-If так как Iim пГ("+1)!" (п + 1)- 1І = 1.
П-УОО L Л In Л J
7. Разлагая в ряд, доказать, что In ^i|=arccth Tfo. Этим тож-
rIo- 1
деством пользуются при получении второго решения уравнения Лежандра (см. разд. 12.9).
1
1 я
.8. Известно, что j j =arctgx
о
о "~ 4 •
Разложим подынтегральную функцию в ряд и почленно проинтегрируем. В результате получим формулу Лейбница для я:
Сравнить сходимость в точке х = 1 ряда для подынтегральной функции и ряда, полученного почленным интегрированием.
Сходимость ряда в формуле Лейбница настолько плоха, что делает эту формулу совершенно непригодной для вычислений. Значение л до 100 000,десятичных знаков вычислялось по формулам*
- jt~24.arctgi-f 8arctg^-f 4arctg^ , я=48 arctg і -j- 32 arctg^—SOarctg^ .
' X
9. Разложить неполную факториальную функцию j ъ-Чп dt в ряд
* См. S hanks D., Wreiich J..W; J^ Mathematics of Computation, IB, 76 (1962)4 ;r. 220
'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
л
і: j e-Hndt=3
по степеням X для малых значений х. Какова область сходимости этого ряда? Почему переменная должна быть малой?
X
Ответ:
-xn+1r_J____1.+ *2 - хР + ]
^ 1(/1+1) (я+2) 21 (п+3) '"рцп+р+і)^ '"J
10. Формула тонкой структуры в релятивистском приближении Дирака имеет вид
у2 -1-1/2
где *=(|*|2-y2)1/2, *=±1, ±2, ±3, ...
Разложить эту формулу по степеням у2 ДО члена порядка ~Ze2fhc, Z-заряд ядра). С помощью полученного разложения обычно сравнивают выводы теории электрона Дирака с выводами релятивистской теории электрона Шредингера. Экспериментальные результаты говорят в пользу теории Дирака.
11. Показать, что для 1 ряд
(1 —ft2 sin фГ1/2 = 1 +4- fc2 sin* ф+ k* sin4 ф +...
Z 2, • 4
равномерно сходится при всех (вещественных) значениях угла ф.
12. Период маятника с угловой амплитудой а и длиной / равен
я/2
Т—4 (-M1/2 [ -^-пт; , где ^2 = Sin2 (а/2). Разложить T
{gl J (l-?2sin2ф)1/2
по степеням №. (Интеграл относится к типу эллиптических интегра-
я/ 2
ч V f • »« J 1-3.5... (2л—1) я
лов первого рода.) Указание. \ sin2" фаф = 0 . —> 0 .---5- =
J 6*4.0 . .. (^rt) L
0
(2я)! 22П (пі)2 ' 2 '
Ответ: 7V-2я (±)1/2 ... ) .
13. Разложить (1 —2/z + /2)~lyr2 в ряд по степеням Считая, что t мало, получить коэффициенты при /1 и /2.
Ответ: O0=P0 (г) = 1, G1=P1 (г)=г,
а2=Р2 (Z) = i (3z2-l).....
Лп=Лі{2) — n-й полином Лежандра.
14. Доказать, что
оо с»
(-"nI^W ""'=St-1^w
Ti=O п=0 5.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕЙЛОРА
221
15. Перемножая ряды для sin л: и cos л: показать, что
sin 2х=2 sin jC'Cos х.
1 ООО ООО
16. Определить верхнюю и нижнюю границы суммы 2 п"1,
Tl= 1
предполагая, что: 1) постоянная Эйлера известна; 2) постоянная Эйлера неизвестна.
1 ООО ООО
Ответ: 14,392726 < 2 /П < 14,392727.
п=1
1000
17. Известно, что 2 я-1 = 7,485480. Найти верхнюю и нижнюю
п=1
границы постоянной Эйлера. Ответ: 0,5767 < С < 0,5778.
18. В общей теории относительности существуют несколько выражений, которые связывают скорость расширения Галактики с красным смещением б. Модель Милна (кинематическая модель) даёт
CF1=Cfi (і+у б), O2 = Cft (і+у o) (1+0)-2,
'+"Gigr-
Показать, что при б < 1 (v3jc < 1) все три формулы сводятся к и = сб. Сравнить все три скорости с учетом членов порядка б2.
19. Нейтроны генерируются внутри полой сферы радиусом R. Родившиеся нейтроны равномерно распределены в сферическом объеме. Предполагая, что все направления равновероятны, определить
среднее расстояние г, которое пройдет нейтрон прежде, чем достигнет поверхности сферы. Движение предполагается прямолинейным, столкновения отсутствуют. Показать, что
1 я
7-¦=¦--^ R j j Vi-Jfea sin* OJfeadJfesin Є d0. о о
Разложив подынтегральную функцию в ряд и проинтегрировав его, получить
OO
г = # [і-4 2 (2/1 — 1) (2/1 + 1) (2/г + З)] '
Tl=I
Показать, что сумма этого бесконечного ряда равна 1/12, а г= =3R(4. Указание. Путем индукции получить частичную сумму Sn= 1/12—[4 (2/t + l) (2/i-f З)]-1, а затем сделать предельный переход rt оо. 222
'ГЛАВА б. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ
20. Пусть X с некоторой погрешностью Ax является корнем / (х). Получить, пренебрегая членами порядка (Ax)2, формулу Ньютона
«А f (*)
для отыскания корней: Ax= —р(*)~ '
21. С помощью представления I f (x)dx=alf (— 1) -f a^f (0) -f
-1
-f?i/(l), получить формулу интегрирования Симпсона і
j /(x)dx=i[/(-l) + 4f(0)-b/(+l)l.
Указание. Разложить обе части уравнения в ряд Тейлора (Маклорена).
5.7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Степенным рядом называется бесконечный ряд вида
OO
f(.V)^а0 + CiiX + Ci2X24-Ci3X3 + ... — 2 CtnXn, (5.109)
л=0
в котором коэффициенты ап — постоянные, не зависящие
ОТ X *.
Сходимость. Сходимость ряда (5.109) можно исследовать с помощью признака Коши или признака Даламбера (см. разд. 5.2). Если
lim U2±i = (5.110)
