Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 5

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 185 >> Следующая


В новом определении вектора через закон преобразования его компонент следует обратить внимание на два момента: 1). оно удобно для описания различных физических явлений; 2) служит основой для перехода к новому разделу математики — тензорному анализу (гл. 3).

Упражнения

1. Задан постоянный вектор V с компонентами Vx-I и Vry = O. Показать, что компоненты этого вектора в повернутой системе координат имеют вид: V^c = COS ф, Vy-—sin ф, что соответствует закону

преобразования векторов. Очевидно, зависимость от угла ф можно 1.3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

17

было ожидать заранее. Введя постоянный вектор, мы выделили определенное направление в пространстве.

2. Определить, удовлетворяют ли закону векторного преобразования (1.15) величины: (х—х-\-уу 0) при повороте вокруг оси z; (0, 2г-\~Уі z—2у) при повороте вокруг оси х; (y2-j-z2, —ху —xz) при повороте вокруг каждой из координатных осей.

3. Показать, что (хусх-{-у2су>—хЧх—хусу) образует вектор. Величины сх я Cy являются компонентами постоянного вектора с. Проделать то же для {хусх—.х*су1 у2сх—хусу).

4. Исследовав вращение вокруг любой из координатных осей, ответить на вопрос, являются ли три функции Vx (ха-f-^2-f-Z2), Vy — aZ (*2 У2г2) и Vz ~ а3 (я2 + #2 -f- Z2) компонентами вектора (а і — постоянные).

5. Двумерный вектор V задан в виде (ax~\-by, cx-\-dy)t где а, Ь, с и d—постоянные. Доказать, что вектор V есть линейная комбинация радиального вектора т = іх-{~іу и тангенциального вектора X^xy- \х:

V = ar + 6t.

Замечание. Закон векторного преобразования должен соблюдаться для любых углов и любых точек (х, у).

г

1.3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Определив векторы, можно перейти к рассмотрению их произведения. Законы перемножения векторов должны быть математически непротиворечивыми. Из всех возможных определений перемножения векторов выберем два, которые представляют интерес как с математической, так и с физической точки зрения. В гл. 3 будет дано еще одно определение.

Произведение вида AB cos 0 (в котором А и В — абсолютные величины двух векторов; 0 — угол между ними) встречается в физике довольно часто. Например, выражение

. Vv

работа = сила X перемещение X cos 0

обычно рассматривается как произведение перемещения (пути) и проекции силы на направление вдоль него.

Определим скалярное произведение векторов А и В следующим образом:

A-B = AxBx + AyBy + AzBz = 2 AiBi. (1.22)

і

Заметим, что из определения (1.22) следует A'B= B-A. Единичные векторы i, j и к удовлетворяют соотношениям

И=И = к-к —1»

(J Ш) 18

ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

тогда как

i-1 = i-k = j-k = j-i = k-i=k-j = 0. (1.226)

Если переориентировать оси и направить новую ось х вдоль А* (рис. 1.7), то Ax — A, Ay = 0, Az = О и Bx =

= В cos 0. В этом случае на основании формулы (1.22) получим соотношение

A-B = ЛБ cos 0,

(1.23)

которое можно принять в качестве второго определения скалярного произведения. Оно показывает, что работа есть скалярное произведение силы на перемещение.*;

Рис. 1.7. Скалярное произведение A-B = AB cos Є.

Пример. Используя (1.22) для двух векторов, определенных в примере из разд. 1.1, получаем А-В = (12—12—9) — —9. "В этом случае проекция А на В (или В на А) отрицательна. Действительно,

[A 1 = (36+16 + 9)1/2 = 7,82, I В I = (419+ 9)1/2 = 4,70 и cos 0 = 0,408, 0-114,1°.

Если A-B = 0 и при этом известно, что А Ф 0 и В Ф 0, то на основании (1.23) cos 0 = 0 или 0 = 90°, 270° и т. д. В этом случае векторы А и В должны быть взаимно перпендикулярны, иначе говоря, А и В ортогональны. Единичные векторы i, j и к являются ортогональными векторами.

Для дальнейшего развития понятия ортогональности предположим, что п — единичный вектор, а г — ненулевой вектор, лежащий в плоскости ху, т. е. г = be + j у (рис. 1.8). Если п-г — 0 при любых г, то п перпендикулярен (ортогонален) к плоскости ху.

Мы еще не убедились в оправданности слова скалярное, т. е. пока еще не доказано, что скалярное произведение есть действительно скалярная величина. Для этого нужно

* Инвариантность A-B относительно поворота координат добывается ниже. LS. СкАлЯРНбЕ ПРОЙЗВЕДЕНЙЁ

І9

исследовать поведение произведения A-B при повороте координатной системы. С помощью (1.15) представим ска-

Рис. 1.8. Нормальный вектор.

лярное произведение в виде

АіВь +AyBy+ AzBfz = 2 OxtAt 2 OxjBj +

г j

+ 2 OyiAi 2 OyjBj + 2 UziAi 2 OzjBj. (1.24)

г j і j

Используя индексы k, Iy получаем

2 АЖ =222 OliAiOljBj. (1.25)

k Iij

Перегруппировав далее члены, придем к соотношению

2 аж=222 (Ouau)AiBj=22 MA=2 AiBi. k і j І х і j і

(1.26)

Последние две операции произведены с учетом ортогональности направляющих косинусов (1.19) и определения 6-сим-вола Кронекера (1.20), благодаря которому в уравнении (1.26) суммирование по j исчезло. Конечно, можно положить і = j и исключить суммирование по і. Уравне- f A A fe А і. вйкїоРгіьій АнАлЙЗ

ине (1.26) приводит к равенству

= (1.27)

ft і

соответствующему определению скалярной величины, которая инвариантна относительно поворота системы координат.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed