Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
В новом определении вектора через закон преобразования его компонент следует обратить внимание на два момента: 1). оно удобно для описания различных физических явлений; 2) служит основой для перехода к новому разделу математики — тензорному анализу (гл. 3).
Упражнения
1. Задан постоянный вектор V с компонентами Vx-I и Vry = O. Показать, что компоненты этого вектора в повернутой системе координат имеют вид: V^c = COS ф, Vy-—sin ф, что соответствует закону
преобразования векторов. Очевидно, зависимость от угла ф можно1.3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
17
было ожидать заранее. Введя постоянный вектор, мы выделили определенное направление в пространстве.
2. Определить, удовлетворяют ли закону векторного преобразования (1.15) величины: (х—х-\-уу 0) при повороте вокруг оси z; (0, 2г-\~Уі z—2у) при повороте вокруг оси х; (y2-j-z2, —ху —xz) при повороте вокруг каждой из координатных осей.
3. Показать, что (хусх-{-у2су>—хЧх—хусу) образует вектор. Величины сх я Cy являются компонентами постоянного вектора с. Проделать то же для {хусх—.х*су1 у2сх—хусу).
4. Исследовав вращение вокруг любой из координатных осей, ответить на вопрос, являются ли три функции Vx (ха-f-^2-f-Z2), Vy — aZ (*2 У2г2) и Vz ~ а3 (я2 + #2 -f- Z2) компонентами вектора (а і — постоянные).
5. Двумерный вектор V задан в виде (ax~\-by, cx-\-dy)t где а, Ь, с и d—постоянные. Доказать, что вектор V есть линейная комбинация радиального вектора т = іх-{~іу и тангенциального вектора X^xy- \х:
V = ar + 6t.
Замечание. Закон векторного преобразования должен соблюдаться для любых углов и любых точек (х, у).
г
1.3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Определив векторы, можно перейти к рассмотрению их произведения. Законы перемножения векторов должны быть математически непротиворечивыми. Из всех возможных определений перемножения векторов выберем два, которые представляют интерес как с математической, так и с физической точки зрения. В гл. 3 будет дано еще одно определение.
Произведение вида AB cos 0 (в котором А и В — абсолютные величины двух векторов; 0 — угол между ними) встречается в физике довольно часто. Например, выражение
. Vv
работа = сила X перемещение X cos 0
обычно рассматривается как произведение перемещения (пути) и проекции силы на направление вдоль него.
Определим скалярное произведение векторов А и В следующим образом:
A-B = AxBx + AyBy + AzBz = 2 AiBi. (1.22)
і
Заметим, что из определения (1.22) следует A'B= B-A. Единичные векторы i, j и к удовлетворяют соотношениям
И=И = к-к —1»
(J Ш)18
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
тогда как
i-1 = i-k = j-k = j-i = k-i=k-j = 0. (1.226)
Если переориентировать оси и направить новую ось х вдоль А* (рис. 1.7), то Ax — A, Ay = 0, Az = О и Bx =
= В cos 0. В этом случае на основании формулы (1.22) получим соотношение
A-B = ЛБ cos 0,
(1.23)
которое можно принять в качестве второго определения скалярного произведения. Оно показывает, что работа есть скалярное произведение силы на перемещение.*;
Рис. 1.7. Скалярное произведение A-B = AB cos Є.
Пример. Используя (1.22) для двух векторов, определенных в примере из разд. 1.1, получаем А-В = (12—12—9) — —9. "В этом случае проекция А на В (или В на А) отрицательна. Действительно,
[A 1 = (36+16 + 9)1/2 = 7,82, I В I = (419+ 9)1/2 = 4,70 и cos 0 = 0,408, 0-114,1°.
Если A-B = 0 и при этом известно, что А Ф 0 и В Ф 0, то на основании (1.23) cos 0 = 0 или 0 = 90°, 270° и т. д. В этом случае векторы А и В должны быть взаимно перпендикулярны, иначе говоря, А и В ортогональны. Единичные векторы i, j и к являются ортогональными векторами.
Для дальнейшего развития понятия ортогональности предположим, что п — единичный вектор, а г — ненулевой вектор, лежащий в плоскости ху, т. е. г = be + j у (рис. 1.8). Если п-г — 0 при любых г, то п перпендикулярен (ортогонален) к плоскости ху.
Мы еще не убедились в оправданности слова скалярное, т. е. пока еще не доказано, что скалярное произведение есть действительно скалярная величина. Для этого нужно
* Инвариантность A-B относительно поворота координат добывается ниже.LS. СкАлЯРНбЕ ПРОЙЗВЕДЕНЙЁ
І9
исследовать поведение произведения A-B при повороте координатной системы. С помощью (1.15) представим ска-
Рис. 1.8. Нормальный вектор.
лярное произведение в виде
АіВь +AyBy+ AzBfz = 2 OxtAt 2 OxjBj +
г j
+ 2 OyiAi 2 OyjBj + 2 UziAi 2 OzjBj. (1.24)
г j і j
Используя индексы k, Iy получаем
2 АЖ =222 OliAiOljBj. (1.25)
k Iij
Перегруппировав далее члены, придем к соотношению
2 аж=222 (Ouau)AiBj=22 MA=2 AiBi. k і j І х і j і
(1.26)
Последние две операции произведены с учетом ортогональности направляющих косинусов (1.19) и определения 6-сим-вола Кронекера (1.20), благодаря которому в уравнении (1.26) суммирование по j исчезло. Конечно, можно положить і = j и исключить суммирование по і. Уравне-f A A fe А і. вйкїоРгіьій АнАлЙЗ
ине (1.26) приводит к равенству
= (1.27)
ft і
соответствующему определению скалярной величины, которая инвариантна относительно поворота системы координат.