Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Необходимо отметить, что до сих пор подход к матрицам был двояким: они рассматривались с помощью компонентного представления и как нечто единое целое. Каждый из этих подходов обладает собственными преимуществами.
Рассмотрим (ST)-1, где ST- матрица, имеющая обратную матрицу. Тогда ясно, что
Умножим слева это равенство последовательно сначала на S"1, а затем на Г-1, откуда
Таким образом, инверсия прозведения матриц равна произведению обратных матриц, перемноженных в обратном порядке. Этот результат легко обобщить на любое количество сомножителей.
,—'
С другой стороны, оценку, (ST) лучше производить, используя компонентное представление. Согласно определению транспонирования,
(ST) (ST)-* = /.
(4.54)
(Sr1) = T-1S-K
(4.55)
(4.56)
но
Uik = Uflif
(4.57 ) 4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫ!: МАТРИЦЫ
105
поэтому предыдущее уравнение можно записать в виде
(57>= TS. (4.58)
Следовательно, в результате транспонирования произведения двух матриц получается произведение транспонированных матриц, перемноженных в обратном порядке. Заметим, что ни в одном из двух приведенных примеров не требовалось, чтобы S или T были ортогональными.
Свойства симметрии. Для определения свойств симметрии пользуются транспонированной матрицей. Если
>4 = 3, т. е. CLij = CijU (4.59)
то матрица называется симметричной. Если же
A=-A, ап=—ап, (4.60)
то она называется антисимметричной или кососимметрич-ной, и ее диагональные элементы равны нулю. Легко видеть, что любую квадратную матрицу можно записать в виде суммы симметричной и антисимметричной матрицы. Рассмотрим тождество
A = ±lA + A} + jlA-X]. (4.61)
rw
Здесь матрица А + А симметрична, а А — А — антисимметрична. Последнее выражение является матричным аналогом тензорного уравнения^(3.22).
Последовательные поворотыXумножение матриц. Обратимся вновь к ортогональным матрицам и рассмотрим поворот системы, заданный матрицей А:
{х'} = А{х} (4.62)
и последующий поворот, заданный матрицей B1 такой, что
{хя} = В{х'}. (4.63)
В компонентной форме это запишется так:
xl = S bijx'j = 2 h/Z aJhXh =2(2 btjdjk) Xk- (4.64) І jk h j
Суммирование по индексу j означает умножение матриц, в результате которого получается новая матрица С = BA, такая, что
4 = 2 cik*k- (4.65)
і 172
Г Л А 6 А 4. MATt5Hubl и ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Рис. 4.2. Поворот вектора в неподвижной системе координат.
Мы опять видим, что умножение матриц полезно, а это уже само по себе оправдывает введение такой операции.
Фактически умножение двух матриц означает двойной поворот, который переводит первоначальную систему координат в новую. Таким образом, мы ставим в соответствие поворот системы координат, который изменяет компоненты фиксированного вектора (вектор остается неподвижным при повороте системы, см. рис. 1.6). Однако уравнение (4.62) можно интерпретировать и как поворот вектора в противоположном направлении (рис. 4.2).
Предположим, мы считаем, что А переводит вектор г в новое положение T1
Ti = Ar. (4.66)
Далее с помощью матрицы В произведем поворот системы координат, при котором (х, у, г) —>(л:', уг'):
Brl = BAr = BA (B-1B) г - (BAB'1) Br, (4.67)
где Bri есть как раз T1 в новой системе координат, то же самое справедливо и для Br. Следовательно, в этой новой системе (Br) в результате действия матрицы BAB'1 повернут в положение (Bri)i или, другими словами, в новой системе, координаты которой соответствуют повороту, заданному матрицей В, матрица А равна
Af = BAB1.
(4.68)
Преобразование подобия. Преобразование, заданное выражением (4.68), в котором В — любая матрица, не обязательно ортогональная, известно как преобразование подобия. В компонентной форме оно перепишется как
а'ц = ^jbikakibij. k,i
(4.69) 4.3. oPtoronAJIbHbIfe МАТРИЦЫ
173
Если же — ортогональная матрица, то
bjj—bij-bji (4.70)
и
a'ij = Tibihb Jiahh (4.71)
ki
Связь с тензорами. Сравнивая (4.71) с уравнениями из разд. 3.1, замечаем, что оно определяет тензор второго ранга. Следовательно, матрица, которая преобразуется ортогональным преобразованием подобия, есть, по определению, тензор. Тогда очевидно, что любая ортогональная матрица At вызывающая поворот вектора [уравнение (4.66)1, может быть названа тензором. Однако если мы имеем дело с ортогональной матрицей, матричными элементами которой служат фиксированные направляющие косинусы, определяющие новую ориентацию координатной системы, то такая матрица не определяет тензорного преобразования.
Симметрия и антисимметрия матриц сохраняется при ортогональных преобразованиях подобия. Пусть задана
симметричная матрица At т. е. А = At и, кроме того,
Af = BABK (4.72)
Тогда в силу ортогональности В
Af = BABi = B-1AB = BAB-1, (4.73)
но A = At поэтому
Af=BAB1 = A'. (4.74)
Отсюда видно, что симметрия матрицы сохраняется при ортогональном преобразовании подобия.
Упражнения *
1. Записать матрицу, которая определяет поворот (правой) системы координат около оси X2 против часовой стрелки.
