Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 45

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 185 >> Следующая


по закону, аналогичному закону (4.35) N

\

3 • х

Vi=^auVjt (4.36) \

Hl \

то (см. разд. 1.2) величины (Vi, V2, V3) представляют собой компоненты вектора, т. е. при вращении системы 4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫ!: МАТРИЦЫ

105

координат они подчиняются законам преобразования компонент вектора. В известной степени координаты точки являются прототипом вектора. Целесообразность и удобство этого определения стали ясными в гл. 3, где оно было распространено на псевдовекторы и тензоры.

Из уравнения (4.34) можно извлечь интересную информацию о коэффициентах ац, которые характеризуют ориентацию координатной системы Xit х'2, x'z относительно системы Х{, X2, х3. Расстояние от начала отсчета до заданной точки одинаково в обеих системах. Рассмотрим для удобства квадрат расстояния

2 а = S ^2 = S (S ЯіЛ) (2 a,kX„) * = it і j k

= S XjXk Зад*- (4.37)

j, ft і 4 1

Последнее справедливо для всех точек в том и только в том случае, если

% aijaih = 6jk, j, k = 1, 2, 3. (4.38)

Проверить это условие можно, подставляя в уравнение (4.37) значения * « (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1,1,0) и т. д., после чего процедуру мы вправе делать, так как уравнение (4.37) должно выполняться при всех хдля данного набора atj. Таким образом, условие (4.38) требует, чтобы длина оставалась постоянной (инвариантной) при вращении системы координат, это условие называется условием ортогональности. Элементы аи образуют ортогональную матрицу Л. Отметим, что в (4.38) нет никакого перемножения матриц. Скорее, его можно истолковать как скалярное произведение двух столбцов матрицы Л.

В матричной форме уравнение (4.34) имеет вид •

{*'} = Л{*}. (4.39)

Условия ортогональности, двумерный случай. Чтобы яснее представить себе смысл элемента aij и понять условие ортогональности, подробно исследуем вращение двумерной системы. (Такая ситуация соответствует вращению

* Заметим, что индексы j и k независимы. 168

Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

трехмерной системы вокруг оси х3.) Геометрические построения на рис. 1.6 приводят к соотношениям

X1 = Xicosср -f X2sin ф, Xi = -X1 sin ф + X2cosф. (4.40) Следовательно, с учетом (4.39)

A J С08ф sinI- (4.41)

\ —Sin ф COS ф/

Из того же рисунка видно, что an = cos ф = cos (jq, X1), al2 = sin ф =

= cos — ф j — cos (xv X2)j ... . (4.42)

Сравнение (4.41) и (4.42) показывает, что матричные элементы совпадают с направляющими косинусами. Условие ортогональности (4.38) сводится в данном случае к уравнениям

si и2 ф I cos2 ф - -1, sin ф cos ф — 0. (4.43)

Распространение полученных результатов на трехмерный случай (поворот системы координат вокруг оси X3 на угол ф против часовой стрелки) дает

(cos ф sin ф 0\ —sinф соэф 0]. (4.44)

О О 1/

Равенство а33 — 1 означает, что х'9 = х3, так как поворот осуществлялся вокруг оси х3. Нулевые матричные элементы обеспечивают независимость х\ и х'2 от х3, a Xf9 от Xi и х2.

Обратная матрица А"1. Обратную матрицу определяют формулой

{хНЛ-Ч*'}. (4.45)

Матрица А~1 описывает обратный поворот, определенный матрицей Л, и возвращает координатную систему в ее первоначальное положение. Символически комбинация уравнений (4.39) и (4.45) дает

(X) = A-1A(X). (4.46)

Поскольку {х} произволен, то

A-1A=L (4.47) 4.3. ОРТОГОНАЛЬНЫ!: МАТРИЦЫ

105

Аналогично

АА~1 = 1. (4.48)

Транспонированная матрица А. Элементы введенной обратной матрицы А'1 можно определить с помощью условия ортогональности (4.38). Оно не согласуется с данным определением произведения матриц, однако это противоречие устраняется, если ввести новую матрицу А, такую, что

an = Ciji. (4.49)

Составленная из элементов aJf матрица А называется транспонированной. Как видно, она отличается от А заменой строк на столбцы. Теперь условие ортогональности (4.38) можно переписать в новой форме

AA=I, (4.50)

которую можно взять в качестве определения ортогональности матриц. Умножив (4.50) на А~1 справа, получим с помощью (4.48)

A = A"1. (4.51)

То, что обратная матрица равна транспонированной, справедливо только для ортогональных матриц, поэтому (4.51) можно считать новым условием ортогональности матриц. Умножив уравнение (4.51) на А слева

AA=I (4.52)

или

2 a Jiaki = б jh, (4.53)

і

получим еще одну форму условия ортогональности. Теперь становится ясным, почему эти матрицы названы ортогональными.

Пусть в общей форме

/сіп

A = Ia2i

W

где матричные элементы ац представляют собой косинусы углов между х\ и Xj. Следовательно, аіи аі2 и аі3 — направляющие косинусы, которые характеризуют расположение 170

Г JJ А В А 4. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

оси Jfl' относительно осей X1, JIT2 и X3 и определяют единицу ДЛИНЫ ВДОЛЬ ОСИ Xi, т. е. единичный вектор

Условие ортогональности (4.53) просто устанавливает, что единичные векторы Yf j' и к' взаимно перпендикулярны или ортогональны. Заданная ортогональная матрица А преобразует одну ортогональную систему координат в другую ортогональную систему.

Инверсия неортогональной матрицы (если только обратная матрица существует) определена уравнением (4.47) или эквивалентным ему уравнением (4.48). Необходимые и достаточные условия существования обратной матрицы заключаются в том, чтобы исходная матрица была квадратной размером пхп и чтобы ее определитель был отличен от нуля (см. упр. 10 к разд. 4.2).
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed