Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
г = (*І, Z1).. (1.3)
* Читатель может убедиться, что начало вектора мы могли поместить в любую точку декартовой системы координат. Начало системы выбрано из соображения простоты, 10
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Обозначим символом г абсолютную величину радиуса-вектора. Легко убедиться (рис. 1.5), что координаты конца вектора связаны с абсолютной величиной вектора соотношениями
X1 = Tcosa, = г cos ?, Z1 = rcosу. (1.4)
Здесь cos a, cos ? и cos у — направляющие косинусы, а a, ?, у — соответственно углы между данным вектором
и положительными направлениями осей Xf у, г. Величины X1, у і и Z1 называются компонентами (декартовыми) радиуса-вектора г или его проекциями.
Любой вектор А можно разложить на компоненты (или спроектировать на координатные оси):
Ax — Л cos a. (1.5)
Данный вектор можно представлять либо символом А, либо компонентами (Axt Ayi Л2).
Введем теперь единичные векторы в направлении каждой из координатных осей. Пусть І, j, к — соответственно векторы единичной длины, направленные вдоль положительных полуосей X, у, Z. Тогда іAx — вектор, величина которого равна Axt а направление совпадает с положительным направлением оси Согласно операции векторногр І.й. ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
ІЗ;
сложения, \ I
A = \АХ + \АУ + kAz, 47 (1.6)
откуда следует, что вектор равен векторной сумме своих компонент. Заметим, что если A = O, то каждая из его компонент в отдельности также равна нулю Ax = Ay = = Az — 0. В сЬответствии с теоремой Пифагора абсолютная величина вектора А равна А — (Al + AixjT В гл. 2 будет показано, что разложение вектора на компоненты можно произвести и в других системах координат. Здесь ограничимся только декартовыми координатами.
Сложение и вычитание векторов можно выполнить, используя компонентное представление. Для А = іAx + + \Ау + кАъ и B = \ВХ + jBy +"kBz справедливо
А±Ъ = \(Ая±В4 + ЦАу + В9) + к(Ал + Вг). (1.7)
Пример. Пусть A — 6i-j-4j + 3k, B—2i —3)—Зк, тогда A + B=8l + jf A —B = 4i-f 7j-J-6k.
Упражнения
1. Определить А и В по заданным A-f-B и А—В.
2. Вектор А, длина которого равна 10, составляет равные углы с осями координат. Найти Axt Ay и Az.
3. Определить компоненты единичного вектора, который лежит в плоскости Xу и составляет равные углы с положительными направлениями осей X и у.
1.2. ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Определение вектора заданием его абсолютной величины и направления не вполне строгое. Есть величины, например коэффициент упругости и коэффициент преломления в анизотропных кристаллах, которые характеризуются абсолютной величиной и направлением, но тем не менее не являются векторами. Кроме того, данное наглядное определение вектора неудобно и не может быть обобщено на более сложные величины, поэтому дадим новое определение вектора, используя для этой цели радиус-вектор г.
Для введения нового определения имеются важные физические причины. Мы описываем окружающий нас І2
г лАйА і. ЬеКТОРнЬій анализ
мир с помощью математики, но любое физическое описание должно быть независимым от математического аппарата. Иногда сравнивают физическую теорию с сооружением, а математический аппарат со строительными лесами, без которых невозможно возвести это сооружение. В конце
Рис. 1.6. Вращение декартовой системы координат.
строительства леса убирают и взору открывается законченное здание.
В дальнейшем будем предполагать, что пространство изотропно, т. е. отсутствует какое-либо выделенное направление или, иначе, все направления равноправны. В этом случае исследуемая физическая система или сформулированный физический закон не должны зависеть от выбора или от ориентации системы координат.
Теперь мы вновь обратимся к радиусу-вектору г как геометрическому объекту, не зависящему от системы координат. Рассмотрим г в двух различных системах, одна из которых повернута относительно другой. Для простоты ограничимся сначала двумерным случаем. Если координатные оси X и у повернуты против часовой стрелки на угол ф и при этом положение радиуса-вектора г фиксировано, можно записать следующие соотношения, связывающие компоненты радиуса-вектора в неподвижной систе- І.й. ПОВОРОТ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
ІЗ;
ме с компонентами того же вектора в повернутой (рис. 1.6): хг = xcoscp + i/sm(p, у'~ — л:sinф + г/cosф. (1.8)
Мы видели в разд. 1.1, что вектор можно представить с помощью координат его концевой точки, иными словами, координаты этой точки пропорциональны компонентам вектора. Следовательно, компоненты вектора должны преобразовываться при повороте координатных осей так же, как координаты точки (или как радиус-вектор г). Более того, если любая пара величин (Axi Ay), заданных в декартовой системе координат ху, преобразуется в (А'х, Ay) поворотом системы координат так, что
Ax = Ax cos ф + Ay sin ф, Ay = — Ax sin ф -f- Ay cos ф, (1.9)
то мы считаем Ax и Ay компонентами вектора А. Наш вектор определен теперь законом преобразования его компонент при повороте системы координат. Если Ax и Ay преобразуются так же, как компоненты двумерного радиуса-вектора, они являются компонентами вектора А. Если Ax и Av ведут себя при повороте системы координат иначе, то из этих величин нельзя образовать вектор.
