Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
P0=I cos ф + j sin <pQ— — і sin ф-{-j cos ф, ко — к.
2. Разложить единичные векторы декартовой системы на компоненты в цилиндрической системе координат
і =Ppcos ф~<ро sin ф, I=P0Sin ф-J-фа cos ф, k = k0.
3. Частица движется в пространстве. Найти компоненты ее скорости и ускорения в цилиндрической системе
• * • • • I Il « • ••
ур = р» V= РФ, Vz = Z; ар = р—рф2, сїф = рф + 2рф, Az = Z.
_ •
4. Проводник, по которому течет ток /, расположен вдоль оси Z. Векторный магнитный потенциал равен A = In ^ . Показать,
ц j
что магнитная индукция В равна В —.
2лр
5. Решить уравнение Лапласа V2^f=O в цилиндрических координатах для случая ф=ij) (р). Ответ: kin (р/р0).
6. В цилиндрических координатах задана векторная функция v (Р> ф)=PoVp (р, ф)4-фоКр (р, ф). Показать, что VxV имеет только г-компоненту. Заметим, что этот результат справедлив для любого вектора на поверхности <73 = const, если только произведения AiV1 и ^2V2 не зависят от qz. 94
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
7. Задана сила F= — і
У
-и
. Выразить в цилин-
1 1 X*+у*
дрических координатах F, VxF. Определить работу, совершаемую под действием силы F1 при однократном перемещении по окружности единичного радиуса против часовой стрелки. Как согласовать полученные результаты? *
8. Доказать, что в уравнении Гельмгольца V2iJ>-{-^|>=0 переменные разделяются в цилиндрических координатах, если
= +/(р) + (1/р2) ІГ (Ф) 4-Ч*) ¦
2.7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ а, ф, г
Логично начать классификацию систем координат, допускающих разделение переменных, с софокусной эллип-
Рис. 2.5. Эллиптические цилиндрические координаты.
соидальной системы (см. разд. 2.15), а все остальные рассматривать как ее частные случаи *i Будем рассматривать свойства симметрии систем координат, которые обусловливаются осью сдвига.
* Подробнее см. M о р с П. M., Ф е ш б а X X. «Методы математической физики». Перев. с англ. M., Изд-во иностр. лит., Л 958-. 2.8. параболические цилиндрические координаты 95
Для эллиптической цилиндрической системы имеем
X = a ch и cos vt у — a sh и sin t>, г — z. (2.73)
Софокусную эллипсоидальную систему образуют следующие семейства координатных поверхностей (рис. 2.5):
1) эллиптические цилиндры: и = const, О и < оо;
2) гиперболические цилиндры: о = const, 0 ^ v 2л;
3) плоскости, параллельные плоскости ху: г — const,
—OO <; Z < OO.
Возводя в квадрат формулы (2.73), получаем
X2 = a2 Ch2 и cos2 vt (2.74)
у2 = я2 sh2 a sin2 Vf (2.75)
откуда
(2.76)
*2 ^ = 1. (2.77)
а2 cos2 u a2 sin2 v
При фиксированном и уравнение (2.76) описывает семейство эллипсов с осью X в качестве главной оси. При v = const уравнение (2.77) дает гиперболы с фокусами, расположенными по оси X.
Коэффициенты Ламе равны
hi — hu = я (sh3 и + sin2 u)1/2, h2 = hv — a (sh2 и + sin2 u) 1/2, hz — h
ifiU-L-.i.} (2'78)
Упражнение
Пусть ch а = <7!, cos zz^Qz* Определить новые коэффи-
циенты Ламе Ag1 и hq2%
(4t—чіл*'2 и '(яі—ЯІ\і/2
Ответ: hq=a (u) , a .
2.8. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ?, Tt, г
Формулы преобразования
^=4-^-61).(2*79)
описывают две системы ортогональных параболических цилиндров (рис. 2.6). Разрешив уравнения (2.79) относительно g и TJ, получим семейства этих поверхностей: ?=const^
71 = Const
Рис. 2.6. Параболические цилиндрические координаты (а) и их аксонометрия (б). 2.9. БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
97
1) параболические цилиндры: ? = const *, —оо < | <
< оо;
2) параболические цилиндры: т) = const, < оо;
3) плоскости, параллельные плоскости ху: z = const. Из уравнений (2.6) находим коэффициенты Ламе
(2.80)
2.9. БИПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ л« *
Эту систему координат можно назвать нечетносфериче-ской. Ее нельзя рассматривать как частный случай софо-кусной эллипсоидальной системы координат. В этой системе даже для k% =-0 (см. упр. 2) переменные полностью не разделяются, и здесь она приведена для иллюстрации того, как нужно выбирать систему координат для решения конкретной задачи.
Формулы преобразования записываются так:
„asht| „у= Hasin6 ., 2 = (2.81)
ehr)—cosg 19 chц—cos | v 7
Разделив первое уравнение на второе, получим
-=-?. (2.82) У Sin I v 1
Теперь исключим ? из первого уравнения
(х~ a cth f\)2 + tf = (p csh21|. (2.83)
Аналогично исключим rj из второго уравнения
+ (У — ctg I)2 = a2 cosec2 ?. (2.84)
С помощью соотношений ,(2.83) и (2.84) находим семейство координатных поверхностей этой системы (рис. 2.7):
1) круговые цилиндры: ? — const, 2я с центром в точке у ~ а ctg I;
2) круговые цилиндры: щ const, —оо < rj < оо с центром в точке X — a cth rj;
* Параболическая цилиндрическая поверхность ? = const инвариантна относительно знака. Для отрицательных | (или т]) следует брать со знаком минус.
7-1257 98
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
3) плоскости: г = const, —оо << г << оо, параллельные плоскости ху.
Если г] 0, то cth ту 1 и csh rj 0. Тогда уравнение (2.83) имеет решение х = а, у = 0. С другой стороны, при г] —оо решением является X ~ —а, у = 0, круг вырождается в точку, а цилиндр — в' линию. Все окружности
