Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 2.3. Сферические полярные координаты.
оси z. Уравнения преобразования координат, соответствующие уравнениям (2.2), имеют вид
X = г sin 6 cos ф, у = г sin 6 sin ф, Z = г cos O. (2.28)
Здесь 6 отсчитывают от положительного направления оси г, а ф в плоскости ху*%от положительного направления оси X (рис. 2.3). Введенные координаты изменяются в пределах О<г<оо,О<0<я и О ф 2jt. Из уравнения (2.6)
Ai = Jir = 1, A2 = A0 = Л h3 = Аф = г sin 6. (2.29)
Следует подчеркнуть, что единичные векторы г0, 60 и <ро меняют направление, которое определено углами 8 и ф. йЛ. сфё№Чёские коордйма+ы
83
Эти единичные векторы выражаются через фиксированные единичные векторы декартовой системы координат i, j и к:
г0 = і sin 0 cos ф + j sin 6 sin ф + к cos 0,
B0 = і cos 0 cos ф + j cos 0 sin ф — к sin 0,
cpo = — і sin ф + j cos ф.
Полагая в разд. 2.2 ai = r0, а2 = Оо> a3 = <p0i получаем основные соотношения
ду
Г°ІГ + 0О7"
ае +q5oZ-Sine аф '
(2.30)
VV =
уф
(2.31)
і 1 . ДНИ ^ sin е аф2 J '
г0 г80 rsin0<po
V V у-_-_ JL JL JL
Л /-2 sin е дг де аф
Vr rVB Г SinW9
Иногда требуется записать векторный лапласиан- V2V в сферических координатах. Это можно сделать с помощью векторного тождества (1.80):
-(„A-LI д \ і cos 9 AJ__!__
V r2 + г ' дг "Г дг* "г A sin 0 * а9 г* ' а0а '
-h--------- ^jVri-^ г% а0 Г2 sin 0/
2
(2.32)
(2.33)
V2V
+(
! г2 sin2 е дф* 2
г2 sin 0 аф
/¦2 Sin 0, _2_ dVQ 2 cos Є г2 * а0 г^ sin 0
dVt
ф
1
Г2 Sin2 0 1
г2 sin 0 аф '
V 2дуг 2cos0 У Qnr „одл
V2VIe = V2F0-
^2y ІФ = Т2yV Г2 SinS 0Vv+ /» Sin 0
ак
/-зав 2
ra sin 0 аф
Wr . 2 COS 0
"Г
аф
Увез. 34)
(2.35)
_ дп
г2sin2©' аф ¦
(2.36)
ф 84
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1
Пример 1. Используя уравнения (2.30) — (2.33), можно проверить некоторые результаты, полученные в декартовых координатах в гл. 1. Из уравнения (2.30)
V/ (г) — Го —-, Vr» = ronr-i.
Из уравнения (2.31)
VtоЖ-у/ (')-f-^-, Ут0гп = (п+2) г»"К
Из уравнения (2.32)
наконец, из (2.33)
VXr0/ (г) =s0.
(2.37)
(2.38)
(2.39)
(2.40)
Пример 2. Вычисление магнитного векторного потенциала кругового тока в плоскости ху связано с определением вектора
V = VX[Vxq?oA<p(r, 0)].
В сферических координатах
Го г0о г sin
1 '
(2.41)
V-Vx
г2 sin 0
д_
дц>
V х
1
Г2 Sin 0
дг dQ
0 0 г sin 0 Лф (г, 0) [го SinQAfp)-rQ0 J-(г sin 0^)J , (2.41а) ,
или
1
г2 sin 9
го
_д_ дг
„ I n ~Sr (r sin ОЛц,) г2 sin 0 <?0 v
г0о г sin
_д_
o0 аф
1 ^
г—-д (гБІп0Лф) 0 sm U or v
(2.416)
Разлагая (2.416) по первой строке, имеем
Фо
і
аг2 Фо
А д8
[V^tp (г, е)—^Ijj^-q (г, в)] .
В гл. 12 мы покажем, что вектор V связан с присоединенным уравнением Лежандра, а <4ф можно представить в виде ряда по присоединенным полиномам Лежандра. ч
2.4. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
85
Упражнения
1. Выразить единичные векторы сферической системы координат через декартовы. Ответ:
г0= I sin б cos ф +j sin 0 sin ф-j-k cos 0, O0= i/cos 0 cos ф +j cos 0 sin ф—k sin 0, Фо = — • sin ф-f j cos ф.
2. Получить формулы обратного преобразования
і = г0 sin 0 cos ф + 0Q cos 0 cos ф— фо sin ф, j = ToSin 0 sin ф-)-O0 cos 0 sin ф —j— <Pq cos Ф, k = r0 cos 0—0osin 0.
3. Частица перемещается в пространстве. Найти компоненты
ее скорости и ускорения в сферической системе координат:
¦ * •
Vr-Ti Vq — Г0, Уф^ГвІпОф; • • • •
ar ~ г—r02 — г sin 0ф2;
QQ= Г0 + 2г0 — г Sin 0 COS Єф2;
• * • • • •
аф = г sin 0ф -j- 2г sin 0ф + 2г cos 00ф.
4. Движение частицы с массой т под действием центральных
• •
сил определяется вторым законом Ньютона тг = Го^(г). Показать, что г X г — с = const и геометрическое толкование этого факта при-врдит ко второму закону Кеплера.
5. Выразить д(дх} діду, dfdz в сферических координатах
д л & . ? I д sin ф д
—Sin 0 C0S®-5--fC°S 0 COS ф--Tr7T---Е-
дх т or г д& г sin 0 дф
д . о . & . а • 1 д . cos ф д ^- = Sin 0 Sin ф-^ + COS 0 Sin ф '
ду ¦ т дг ґ <?0 г sin 0 0ф '
д а д ¦ о 1 д —- = CCs о ---sm O — .
dz дг г 00
6. Используя результаты упр. 5, получить формулу
_ . /_д__д \ = . д
1 \ dy У dx 1 дф
Это—квантовый оператор, соответствующий z-компоненте момента количества движения.
7. Доказать эквивалентность трех форм V2^) (г) (в сферических координатах)
± . 1 Гг2 ** Wl 1 d2 ГпЬ Ml ^ (Г) + 2 ** (Г) ^2 Trlr ~dTr У^и(г)3> ~d?r-+T'-dr- Г Л А 6 A O. СЙСТЁМЫ КбО^ДЙЙАЇ
Вторая форма особенно удобна для проверки соответствия между Востановкой задачи в сферических и декартовых координатах.
8. Пусть V2i})—0. Показать, что V2V2(r2^) = 0.
9. В одной из моделей солнечной короны предполагается, что поток тепла удовлетворяет стационарному уравнению непрерывности:
V-(^VT) = 0, где k — T5/2—теплопроводность. Полагая, что температура T — г71, доказать, что это уравнение имеет решение
Г = ТоЫд)2/7.
10. Проверить векторные равенства
