Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
То же самое можно сказать и о математической строгости. Автор не ставил перед собой цели довести логику и строгость изложения до такого уровня, который затруднял бьгпрактическое использование математического аппарата, В книге везде приводятся объяснения вводимым ограничениям и делаются предупреждения против слепого и неосмысленного применения математических формул. 6
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Второй основной принцип построения книги заключается в том, чтобы дать возможность читателю обоснованно подходить к решению различных задач и проиллюстрировать взаимосвязь математики с теоретическими и прикладными науками.
Этот же принцип сыграл также основную роль при подборе и расположении материала. Например, в главе о дифференциальных уравнениях основной упор делается не на ряд абстрактных и сравнительно малопонятных доказательств, которые для непосвященного имеют характер математических головоломок, а на решения и общие свойства этих уравнений, с которыми студенты чаще всего сталкиваются на практике.
Безусловно, при написании книги такого типа автор пользовался помощью и испытывал на себе влияние многих людей. Я весьма благодарен профессорам, которые были моими учителями по физике и математике и воспитали во мне любовь к этим наукам. Я благодарю также моих коллег за их помощь и ценную критику. Особенно хочется отметить критические замечания и реакцию студенческой аудитории, которой я читал лекции, послужившие основой для этой книги.
Г. Арфкен Г Л А В|А 1
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В науке и технике часто встречаются величины, которые вполне определяются одним числом, так называемой абсолютной величиной, например масса, время, температура и т. д. Эти величины называют скалярными. Однако многие физические величины определяются не только числом, но и направлением, например перемещение, скорость, ускорение, сила, импульс и момент количества движения. Эти величины называют векторными. Чтобы отличать векторные величины от скалярных, в дальнейшем будем обозначать их прямым жирным шрифтом (V.)
Интересно заметить, что все перечисленные векторные величины заимствованы из механики, однако при развитии механики векторный анализ не был использован; более того, он еще не был создан. Потребность в векторном анализе возникла после того, как Максвелл разработал электромагнитную теорию и. стала ясна векторная природа электрического и магнитного полей.
Графически любую векторную величину (в дальнейшем будем называть ее вектором) удобно представлять стрелкой, длина которой пропорциональна величине вектора, а направление определяет направление вектора. За положительное принято направление, указанное этой стрелкой. При таком определении сумма векторов
C = А+В (1.1)
означает совмещение начала вектора В с концом вектора А. Стрелка, соединяющая начало вектора А с концом вектора В, определяет вектор С. Эта процедура сложения векторов по правилу треугольника — уравнение (1.1)— проиллюстрирована на рис. 1.1. Дополняя полученный треугольник до параллелограмма, видим (рис. 1.2), что
С = А + В = В + А.
(1.2) 8
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Правило параллелограмма сложения векторов можно наглядно иллюстрировать следующим образом. Пусть груз
Рис. 1.1. Правило треуголь- Рис. 1.2. Правило параллело-ника при сложении векторов. грамма при сложении векторов.
подвешен за две веревочки. Если точка подвеса О (рис. 1.3) находится в покое, то векторная сумма двух сил F1 и F2 уравновешена направленной вниз силой тяжести F3.
В приведенном примере правило параллелограмма проверяется непосредственно *,
Отметим, что под векторами понимаются геометрические объекты, не зависящие от системы координат. Более того,
* Строго говоря, сложение по правилу параллелограмма введено как определение. Приведенный пример показал, что если при построении параллелограмма создано условие равновесия, а силы — векторы, то результирующая сила равна нулю.
В
Рис. 1.3. Равновесие сил Fi + ;F2 = — F3 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
9
мы даже еще и не. вводили никакой системы координат. Это свойство независимости вектора от системы координат более подробно рассматривается в следующем разделе.
Представление вектора А в виде направленной стрелки дает возможность определить его несколько иначе. Вектор А (рис. 1.4), направленный из начала системы отсчета *, оканчивается в точке (xit ylt Z1). Следовательно,
Рис. 1.4. Компоненты вектора в декартовой системе
координат.
если мы условимся, что начало вектора совпадает с началом координат, то положение его конца может быть определено декартовыми координатами (Jc1, уи Zi) его стрелки.
Символом А можно обозначить любую векторную величину (импульс, напряженность электрического поля и т. д.), однако некоторые векторные величины, например расстояние от начала координат до точки (xit уи Z1), обозначают специальным символом г (его называют радиусом-вектором). Причем произвольно это расстояние можно обозначать либо г, либо совокупностью координат (X1, у и Zi) конца вектора:
