Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(17-114)
Будем предполагать, что граничные условия либо периодичны (как в теории Штурма — Лиувилля, гл. 9), либо область интегрирования настолько велика, что функции фиф* обращаются на границе в нуль (Ііш/*1/2 ф (г) = 0). При таких
Г-ЮО
предположениях проинтегрированная часть обращается в нуль, и уравнение (17.112) приводится к виду
6 j j j + (17.115)
Функция gy которую мы ввели в уравнение (17.98), в рассматриваемом случае равна
* 2
g = ^Ф*. Тф -f 1/ф*ф - Хф*ф -
Й.2
=+Ф;Фу 4 +к ф*Ф - хф*ф. (17.116)
Уравнение Эйлера (17.99) окончательно принимает форму:
= (17.117)
Сравнение с гамильтонианом H показывает, что параметр X должен быть отождествлен с энергией квантовомеханиче-ской системы. Тйким образом, мы получили известное волновое уравнение Шредингера. Такой вывод волнового уравнения (17.117) имеет не только академический интерес, но дает Возможность разработать плодотворный метод приближенного решения волнового уравнения (метод Ритца).
Упражнения
1. Частица с массой т под действием связи движется без трения
по горизонтальной поверхности по закону д — Ш. Начальные условия: »
t — 0, г = го, г = 0. Определить положение частицы как функцию времени и силу влияния связи, действующую на частицу. Ответ: г (O=T0Chd)/, 704
Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Гибкий кабель подвешен между двумя точками. Его длина фиксирована. Найти кривую, для которой характерно минимальное значение общей потенциальной энергии кабеля в поле силы тяжести.
Ответ: гиперболический косинус.
3. Определить максимальное значение производной по направлению функции (р (*, г/, г)
<*Ф дф , дф Q , дф
—Tl- = Tl- cos a- --—- cos B^—~ cos v. ds дх ду дг 1
если cos2 а + cos2 ? -f cos2 у = 1. Ответ: ^ j = | Тф |.
Ь
4. Показать, что требование /== \ [р (х) у%х — q (х) y2]dx — const
к.'
а
наряду с нормировкой ^ y2w (х) dx — 1 приводит к уравнению Штур-
а
мп—Лиувилля (см. гл. 9):
d ( _ dy
1
^ [p^)-Hy ^oy = 0.
Замечание. Граничное условие удобно*задать в РУХУ \а
> б. Определенное количество воды вращается в цилиндре с постоянной угловой скоростью (0. Найти кривую поверхности воды из условия минимальности ее полной потенциальной энергии с учетом сил тяжести и центробежных сил. Ответ: парабола.
6. Вариационный метод Рэлея—Ритца. Пробная функция у = — 2 приближенно описывает собственную функцию OCHOB-І — 1
ного состояния г/о- Коэффициенты Cj малы. Показать, что у (*) позволяет получить приближенное значение Xq, отличающееся от истинного на величину второго порядка малости.
Воспользоваться приближением Рэлея—Ритца для оценки низшего собственного значения уравнения d2y/dx2 + %у = 0 при граничных условиях у (Q) = у (1)—0. Указание. В качестве пробной функции удобно взять у (х) = х (1— х).
Ответ: X^ 10 или точно X = Jt2 = 9,8696. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Гильберт Д., ^K ура нт Р. Методы математической физики. Перев. с англ. М.— Jl., Гостехиздат, 1951.
Irving J., Mullineux N. Mathematics in Physics and Engineering. N.Y., Academic Press, 1959. N
Jeffreys H. S., J e f f г e у s В. S. Methods of Mathematical Physics. 2nd ed. Cambridge, Cambridge University Press, 1950. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and' Mathematical Tables. Applied Mathematics Series 55 (AMS-55), National Bureau of Standards, U.S. Department of Commerce, 1964.
Морс П. M., Фешбах X. Методы теоретической физики. Перев. с англ. M., Изд-во иностр. лит., 1958.
Уиттекер Э. Т., В а тсо н Дж. Н. Курс современного анализа. Перев. с англ. M., Физматгиз., 1963.
К главе 1
Kellogg О. D. Foundations of Potential Theory. N.Y., Dover, 1953.
Lass H. Vector and Tensor Analysis. N.Y., McGraw-Hill, 1950.
Schwartz M., G r e e n S., R u t 1 e d g e W. A. Vector Analysis.with Applications to Geometry and Physics. N.Y., Harper and Row, I960.
Wrede R. C. introduction to Vector and Tensor Analysis. N.Y., Wiley, 1963.
T а мм И. Ё. Основы теории электричества. M.— Л., Гостехиздат, 1954.
К о ч и н Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. M., Изд-во АН СССР, 1951.
Ком па н ее ц А. С. Теоретическая физика. M., Гостехтеор-издат, 1957.
К главе 3
-Гайтлер В. Квантовая теория излучения. Пррев. с англ. M., Изд-во иностр. лит., 1956.
Jeffreys Н. Cartesian Tensor. Cambridge, Cambridge University Press, 1952.
Lawden D. F. An Introduction to Tensor Calculus and Relativity. N.Y., Wiley (Methuen monograph), 1962-. 706
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
I
M о I 1 е г С. The Theory of Relativity. Oxford, Oxford University Press, 1955.
Па но Bc кий В., Фи л л и пс М. Классическая электродинамика. Перев. с англ. Под ред. С. П. Капицы. M., Физматгиз, 1963.
Sokolnikoff I. S. Tensor Analysis — Theory and Applications. N.Y., Wiley, 1951.
Spain B, Tensor Calculus, 3rd ed. N.Y., Interscience Publishers, 1960.
Stratton J. A. Electromagnetic Theory, N.Y., McGraw-Hill, 1941.
Temple G. Cartesian Tensor. N.Y., Wiley (Methuen monograph),
