Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 180

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 .. 185 >> Следующая


^ = ^ + 1^+^ = 0. (17.81)

Из условия df — 0 уже не следует соотношение (17.78), поскольку есть только две независимые переменные. Если в качестве независимых переменных взять х и yt то dz уже не может быть произвольным. Умножим теперь уравнение (17.81) на некоторый множитель X и сложим это уравнение с (17.79):

Множитель Лагранжа X выбран так, чтобы

§ + = (17.83)

причем предполагается, что ду/дгфО. Уравнение (17.82) при выполнении условия (17.83) упрощается:

(17-84)

Однако при произвольных dx и dy

і ^f=0- (17-85>

При выполнении условий (17.83) и (17.85) df = 0, а / имеет экстремум. Теперь уже имеется четыре неизвестные: Xt у, Z и L В качестве четвертого уравнения, конечно, можно взять уравнение связи (17.80). В действительности 17.6. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА

697

же определять параметр X не нужно, поэтому X иногда называют неопределенным множителем Лагранжа. Этот метод теряет силу, когда все производные дцідх, ду Іду и дц> Idz равны нулю.

Частица в потенциальном ящике. Проиллюстрируем метод множителей Лагранжа на примере задачи из квантовой механики, в которой рассматривается частица т в потенциальном ящике. В качестве ящика взят прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и с. Энергия частицы

в основном состоянии равна ? = + ^ + Необходимо найти такую форму ящика при постоянном объеме, для которой энергия E окажется минимальной; условие постоянства объема дает уравнение связи

V (а, 6, c) = abc = k. (17.86)

При /(a, b, с) = E (а, Ь, с) и ф(я, b, c)=abc — k = О

дЕ . 1 dV h2 I IA П

* л А" > (17-87)

\-Xac= 0, — -гЦ- +Xflft = O.

г 4 nib3 ' Amc9

Умножим первое из выражений на а, второе на 6, а третье на с и сложим их:

№ A2 /17 ООЧ

Следовательно, искомым решением будет а = b = с, т. е. куб.

Ядерный реактор в форме цилиндра. Предположим, что ядерный реактор на тепловых нейтронах имеет форму правильного кругового цилиндра радиусом R и высотой Н. В теории диффузии нейтронов возникает соотношение, которое представляет собой уравнение связи:

Y(/?,ff) = (J^)4(?)=--const*. (17.89)

Найдем минимальный объем реактора {(R1 Н) = лR2H. Применим уравнения (17.85):

f + = О,

§ + = (17.90)

* Величина 2,4048 — первый корень функции Бесселя Jq (/?). 45-1257 698

Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

После умножения первого из этих уравнений на R/2, а второго на H получим я/?2Я = Х(2,4048)2/Я2 = Ш2/Я2 или

// К2я/?/2,4048 -1,847/?. (17.91)

Следовательно, при такой высоте объем цилиндрического реактора будет минимальным.

Строго говоря, мы нашли только экстремум. Отождествление этого экстремума с минимумом следует из рассмотрения исходного уравнения.

Упражнения*

!. Энергия основного состояния частицы в правильной круговой цилиндрической яме равна

F-Iі I <2'4048)2 л2 ) 2т\ Ri + № ) '

где — радиус; Я —высота цилиндра. Определить отношение RjH, для которого при фиксированном объеме цилиндра энергия будет мнннмалыюй.

Ответ: RfH = 0,5414.

2. Определить отношение радиуса R к высоте Н, при котором для фиксированного объема правильного кругового цилиндра его поверхность будет минимальной.

3. Частица скользит без трения во внутренней стороне параболоида вращения. Показать, что сила F^ (сила связи), удерживающая частицу на поверхности, пропорциональна кривизне поверхности /С =

= cAI2+!!2)1^ Указание. Воспользоваться параболическими координатами. Уравнение связи # = ?0 —0.

Ответ: F(c, = XVq>|6 = ty(|jj-|-ii2)1/2-

4. Приведенная масса р, определена соотношением 1/^=1//^-4-+ \ftn2. Найти максимальное значение |х при фиксированной сумме Щ +т2-

5. Вероятность распределения для тождественных частиц, подчиняющихся (не подчиняющихся) принципу Паули, равна

і і

Показать, что требование максимального значения величины Wi (№2) приводит к распределению Ферми—Дирака (Бозе—Эйнштейна):

gi Ini- \

Здесь Xi = -EofkT, X2=IfkT. Указание. Взять InlF1 и воспользоваться формулой Стирлинга (предположить что gi > 1). Замечание.

* Упражнения выполнить с помощью множителей Лагранжа, іі.і. єарйацИя гіри наличии связей

Квантовомеханнческая система характеризуется gi различными квантовыми состояниями, в которых она может находиться, если ее энергия заключена в интервале (Ei, Ei-\-dEi). Обычно решают следующую задачу: каким образом п, частиц распределены по энергетическим состояниям, если выполнено дна услоппи: I) «imvm частиц фнмирона-

но 2 ni 2) полная энергия фиксирована ^tiiEi-E. і і

17.7. ВАРИАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗЕЙ

Определим «путь», для которого интеграл

/= J Xj)dXi <17-92)

постоянный. Здесь интеграл представлен в общей форме, в которой Xj описывает набор независимых, a yt — набор зависимых переменных. Снова OJ = 0. Введем одну или более связей. Как и в разд. 17.6, связь представим в виде

Vk (Уи Xj) = 0. (17.93)

Уравнение (17.93) умножим иа некоторую функцию Xj, скажем на Xk (Xj)i и проинтегрируем в тех же пределах, что и (17.92):

h(Xj)(ph(yii Xj)dxj = Q. (17.94)

Ясно, что

o j h (Xj) Фй (уи xj) dxj = 0. (17.95)
Предыдущая << 1 .. 174 175 176 177 178 179 < 180 > 181 182 183 184 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed