Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
^ = ^ + 1^+^ = 0. (17.81)
Из условия df — 0 уже не следует соотношение (17.78), поскольку есть только две независимые переменные. Если в качестве независимых переменных взять х и yt то dz уже не может быть произвольным. Умножим теперь уравнение (17.81) на некоторый множитель X и сложим это уравнение с (17.79):
Множитель Лагранжа X выбран так, чтобы
§ + = (17.83)
причем предполагается, что ду/дгфО. Уравнение (17.82) при выполнении условия (17.83) упрощается:
(17-84)
Однако при произвольных dx и dy
і ^f=0- (17-85>
При выполнении условий (17.83) и (17.85) df = 0, а / имеет экстремум. Теперь уже имеется четыре неизвестные: Xt у, Z и L В качестве четвертого уравнения, конечно, можно взять уравнение связи (17.80). В действительности17.6. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА
697
же определять параметр X не нужно, поэтому X иногда называют неопределенным множителем Лагранжа. Этот метод теряет силу, когда все производные дцідх, ду Іду и дц> Idz равны нулю.
Частица в потенциальном ящике. Проиллюстрируем метод множителей Лагранжа на примере задачи из квантовой механики, в которой рассматривается частица т в потенциальном ящике. В качестве ящика взят прямоугольный параллелепипед со сторонами a, b и с. Энергия частицы
в основном состоянии равна ? = + ^ + Необходимо найти такую форму ящика при постоянном объеме, для которой энергия E окажется минимальной; условие постоянства объема дает уравнение связи
V (а, 6, c) = abc = k. (17.86)
При /(a, b, с) = E (а, Ь, с) и ф(я, b, c)=abc — k = О
дЕ . 1 dV h2 I IA П
* л А" > (17-87)
\-Xac= 0, — -гЦ- +Xflft = O.
г 4 nib3 ' Amc9
Умножим первое из выражений на а, второе на 6, а третье на с и сложим их:
№ A2 /17 ООЧ
Следовательно, искомым решением будет а = b = с, т. е. куб.
Ядерный реактор в форме цилиндра. Предположим, что ядерный реактор на тепловых нейтронах имеет форму правильного кругового цилиндра радиусом R и высотой Н. В теории диффузии нейтронов возникает соотношение, которое представляет собой уравнение связи:
Y(/?,ff) = (J^)4(?)=--const*. (17.89)
Найдем минимальный объем реактора {(R1 Н) = лR2H. Применим уравнения (17.85):
f + = О,
§ + = (17.90)
* Величина 2,4048 — первый корень функции Бесселя Jq (/?). 45-1257698
Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
После умножения первого из этих уравнений на R/2, а второго на H получим я/?2Я = Х(2,4048)2/Я2 = Ш2/Я2 или
// К2я/?/2,4048 -1,847/?. (17.91)
Следовательно, при такой высоте объем цилиндрического реактора будет минимальным.
Строго говоря, мы нашли только экстремум. Отождествление этого экстремума с минимумом следует из рассмотрения исходного уравнения.
Упражнения*
!. Энергия основного состояния частицы в правильной круговой цилиндрической яме равна
F-Iі I <2'4048)2 л2 ) 2т\ Ri + № ) '
где — радиус; Я —высота цилиндра. Определить отношение RjH, для которого при фиксированном объеме цилиндра энергия будет мнннмалыюй.
Ответ: RfH = 0,5414.
2. Определить отношение радиуса R к высоте Н, при котором для фиксированного объема правильного кругового цилиндра его поверхность будет минимальной.
3. Частица скользит без трения во внутренней стороне параболоида вращения. Показать, что сила F^ (сила связи), удерживающая частицу на поверхности, пропорциональна кривизне поверхности /С =
= cAI2+!!2)1^ Указание. Воспользоваться параболическими координатами. Уравнение связи # = ?0 —0.
Ответ: F(c, = XVq>|6 = ty(|jj-|-ii2)1/2-
4. Приведенная масса р, определена соотношением 1/^=1//^-4-+ \ftn2. Найти максимальное значение |х при фиксированной сумме Щ +т2-
5. Вероятность распределения для тождественных частиц, подчиняющихся (не подчиняющихся) принципу Паули, равна
і і
Показать, что требование максимального значения величины Wi (№2) приводит к распределению Ферми—Дирака (Бозе—Эйнштейна):
gi Ini- \
Здесь Xi = -EofkT, X2=IfkT. Указание. Взять InlF1 и воспользоваться формулой Стирлинга (предположить что gi > 1). Замечание.
* Упражнения выполнить с помощью множителей Лагранжа,іі.і. єарйацИя гіри наличии связей
Квантовомеханнческая система характеризуется gi различными квантовыми состояниями, в которых она может находиться, если ее энергия заключена в интервале (Ei, Ei-\-dEi). Обычно решают следующую задачу: каким образом п, частиц распределены по энергетическим состояниям, если выполнено дна услоппи: I) «imvm частиц фнмирона-
но 2 ni 2) полная энергия фиксирована ^tiiEi-E. і і
17.7. ВАРИАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ СВЯЗЕЙ
Определим «путь», для которого интеграл
/= J Xj)dXi <17-92)
постоянный. Здесь интеграл представлен в общей форме, в которой Xj описывает набор независимых, a yt — набор зависимых переменных. Снова OJ = 0. Введем одну или более связей. Как и в разд. 17.6, связь представим в виде
Vk (Уи Xj) = 0. (17.93)
Уравнение (17.93) умножим иа некоторую функцию Xj, скажем на Xk (Xj)i и проинтегрируем в тех же пределах, что и (17.92):
h(Xj)(ph(yii Xj)dxj = Q. (17.94)
Ясно, что
o j h (Xj) Фй (уи xj) dxj = 0. (17.95)