Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Записать лагранжиан этой системы, получить уравнение движения в форме Лагранжа. _
3. Показать, что лагранжиан L = ^ 1 — j/^l——^ (г) приводит к релятивистской формулировке второго закона Ньютона
Рис. 17.5. Сферический маятник.
d_ dt
/ Щ Vi \ {y\-v2 je*)
Іч
где Fi= —dV/dX}. It.4. несколько ііезАвіісіімьіх ііпреМенііЬіх
№
17.4. НЕСКОЛЬКО НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Подынтегральная функция / в уравнении (17.1) может содержать только одну неизвестную функцию и, которая зависит, однако, от нескольких независимых переменных, например в трехмерном случае: и = и (дг, у, г). Уравнение (17.1) приобретает тогда форму
J= j j j f[u, ux, Uy, uz, X, у, z)dxdydz. (17.64)
Необходимо найти такую функцию и(х, у, г), для которой величина J постоянна, т. е.
dJ
8J — a ¦,
да
= 0. (17.65)
tt=0 v
Обобщая результат разд. 17.1, полагаем
и (х, у, z, а) = и (дг, у, г, 0) + ах) (дг, у, г). (17.66)
»
Здесь и (дг, у, г\ а - - 0) — неизвестная функция, для которой выполняется условие (17.65); г) (дг, у, z) — произвольное отклонение, характеризующее функцию и (х, у, z, a). Как и раньше, потребуем, чтобы отклонение г) (дг, у, z, а) было дифференцируемой функцией и обращалось в нуль в концевых точках. Из уравнения (17.66) получаем
их (х, у, z, а) = их (х, у, z, 0) + а\]х. (17.67)
Аналогичные выражения записываются для иу и uz.
Продифференцируем интеграл (17.64) по а, а затем положим а — 0:
dJ f f Г / дї і df . df
-ETa-O=J J ЗІАГЧ + ^Ч, + -^!,,+
+ -§r4z)dxdydz = 0. (17.68)
Вновь проинтегрируем по частям каждый из членов (df/dUi)\\i Проинтегрированные части после подстановки пределов обратятся в нуль (так как по условию отклонение ц равно нулю в концевых точках):
Г Г Г І дї__д__д[___д__д[__
J J J \ du дх дих ду диу
д л f
~~дг~Шг)^х> у> z) d*dydz = 0. (17.69)
2> J 694 Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В силу произвольности вариации т) (х, у, z) выражение в круглых скобках можно приравнять нулю. В результате получим уравнение Эйлера для трех независимых переменных:
д[___д_Л__Лд[___<L_iL^0 (17.70)
ди дх дих ду диу дг диг \ ' )
Уравнение Лапласа. Плотность энергии электростатического поля равна е?2/2. Здесь E — обычное электростатическое поле сил. То же самое можно записать и через статический потенциал: плотность энергии = е (Vtp)2/2. Потребуем теперь, чтобы электростатическая энергия была минимальной для данного объема (при этом необходимо учесть еще граничные условия для величин E и ср). В соответствии с поставленной задачей запишем
/=И VdxdUdz^
= j j j (фЯ фу + фDdxdydz, (17.71)
в котором функция из уравнения (17.70) заменена на
/(Ф» Ф*> фу» фг? У» 2:) = фх + фу + фг. (17.72) Уравнение Эйлера определяет соотношение
- 2 (ф** + ц>уу + фг2) = 0 или V2<p (х, у, г) = 0, (17.73)
которое совпадает с уравнением Лапласа из электростатики.
Более подробное исследование показывает, что найденный экстремум является минимумом. Таким образом, требование минимальности энергии поля приводит к уравнению Лапласа.
17.5. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В некоторых случаях подынтегральная функция f содержит более чем одну зависимую и более чем одну независимую переменную. Рассмотрим функцию
f^flp, Px T Pyi Pzi Qi Яху Яуу Ці, Г, Tx, Г у, Гг, X, у, Z].
(17.74) 17.6; МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА
695
Потребуем, как и раньше,
Іо (де, у, г, а) = р (Jt1 у, г, 0)-ha?(*. У» г), ' ?(*, у, Z1 а) =</(*, у, г, 0)-Ьат](д:, у, г), Г (де, у, г, а)=г(дг, г/, г, 0) + а?(л:, у, г),
(17.75)
Учитывая, что т] и ? независимы (аналогичному условию подчинялись Tji из разд. 17.3), и проведя дифференцирование с . последующим интегрированием по частям, получаем
df д df д df д df
dp dx дрх ду дру дг дрг
= 0 (17.76)
и такие же уравнения для функций q и г. Заменяя р, q, г, ... на у і а X, у у г, ... на , мы можем переписать
уравнение (17.87) в более компактной форме
»
j
где уг) === дуJdxj.
17.6. МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА
В этом разделе мы введем понятие связей. Чтобы не загромождать изложения, будем подразумевать под связью некоторую простую функцию. В нашу задачу пока не входит исчисление вариаций, в котором используются множители Лагранжа. Сейчас же мы определим этй множители.
Рассмотрим функцию трех независимых переменных f (xt у% г). Она имеет максимум (или экстремум), если df = 0. Необходимым и достаточным условием для этого является равенство нулю частных производных
ї-і-і-ь (17-78>
причем
(17.79) 696 Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В различных физических задачах переменные Xy уу z часто оказываются взаимосвязанными, т. е. не являются независимыми. Можно, по крайней мере в принципе, использовать каждую связь для исключения одной переменной и продолжить дальнейший анализ с новым уменьшенным набором переменных.
Метод множителей Лагранжа применяется в тех случаях, когда такое исключение переменных оказывается неудобным или нежелательным. Запишем уравнение связи
(p(x,i/,z) = 0, (17.80)
из которого следует, что
