Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
2. Под действием силы тяжести частица без трения скользит по циклоиде, заданной формулами x=c(0+sin6), у = с(\ — cos 9). Показать, что время, затрачиваемое частицей на весь путь от исходной точки до начала координат, равно T = (я/2) ~]/cfg и не зависит от положения исходной точки на кривой (О<0< я).
17.3. НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Уравнение (17.1) допускает обобщение. Рассмотрим случай, когда подынтегральная функция f определяется сразу несколькими зависимыми переменными у{ (х), у2 (х), уъ (х), . . ., которые являются фнукциями одной независимой переменной X.>
690 Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Для нескольких зависимых переменных уравнение (17.1) перепишется в следующем виде:
Xl
iW, ...,Уп(х), yix(x), ..., Упх(х), х]йх.(\7Щ
Xl
Как и в разд. 17.1, будем Определять экстремальное значение, сравнивая соседние пути. Положим, Уі (х, a)-=yi(x, 0)-har)t(x), і= 1, 2, . . ., n, (17.51) где т]г не зависят друг от друга, но в остальном удовлетворяют тем условиям, о которых говорилось в разд. 17.1. Поскольку уравнение (17.7) в данном случае тоже остается в силе, продифференцируем выражение (17.50) по a, a затем положим а = 0:
I 2(^ + ^)^ = 0' (17-52)
я I г
Снова каждый из членов типа (dfIdyix) г\1Х проинтегрируем по частям. Проинтегрированные части равны нулю, и из (17.52) получаем
*2
07.53)
xj і
В силу того что г\і произвольны и не зависят друг от друга* каждый из членов этой суммы должен независимо от других равняться нулю. Тогда
~§Уі Tx д(ду!/дх) -0,/=1,2.....п. (17.54)
Таким образом, возникла система уравнений Эйлера, каждое из которых выполняется при наличии экстремума.
Самое важное практическое приложение уравнения (17.50) связано с лагранжианом L, который заменяет в нем функцию f. Лагранжиан определяют как разность между кинетической и потенциальной энергиями системы
L = T-V. (17.55)
* Например, можно положить г|2 = г|3 = Tj4 — . . . = 0 и тем самым уничтожить все члены суммы, за исключением первого, а затем действовать в соответствии с разд. 17.1,17.3. НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 691
Принцип Гамильтона. Выберем в качестве независимой переменной время t, тогда х будет функцией t, и сделаем замену переменных в системе уравнений Эйлера (17.54):
* -> Л Уі-+Хі (/), Уіх -> X1 (і). (17.56)
Здесь Xi (і) — смещение, a Xi (() — dXj/d/ — скорость 1-й частицы. В принятых обозначениях уравнение 8J = 0 отражает математическую формулировку принципа Гамильтона в классической механике:
h
І. • •
L (Xj, ^2, . • • > Xnt Xit X2, ...,
OA = O. (17.57)
*i
Иными словами, принцип Гамильтона говорит о том, что движение системы с момента времени ti до момента I2 происходит таким образом, что линейный интеграл от лагранжиана L сохраняет постоянное значение
Wf--Zr0- ' (17-58>
дхі 1
Эти уравнения для лагранжиана системы можно получить из уравнений движения Ньютона, и наоборот. Указанные системы уравнений называют фундаментальными. Однако формулировка Лагранжа имеет определенные преимущества по сравнению с уравнениями, которые отражают обычные законы Ньютона. Если уравнения Ньютона связывают векторные величины, то уравнения Лагранжа записаны для скаляров. Координаты X1, х2, X3t ... понимаются в широком смысле и не обязательно характеризуют размеры. Обычно их выбирают, исходя из требований конкретной физической задачи. Наконец, уравнения Лагранжа, хотя они и записываются не в столь наглядной форме, гораздо удобнее для описания сложных систем и легче переносятся из механики в другие области физики (например, в .квантовую механику).
Пример 1. Движение частицы в прямоугольных координатах. Построим лагранжиан (17.55) для частицы с кинетической энергией
Т = тх 2/2 (17.59)
и потенциальной энергией V (*). Сила, как обычно, задана с помощью отрицательного градиента потенциала:
F{x)=-dV(x)/dx. (17.60)692
Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из (17.59) получаем второй закон Ньютона
dt
(тх)
dx
mx—F(x) = 0.
(17.61)
Пример 2. Д в и ж е н и е частицы в ц и л и д р и ч е с к о й системе координат. Поставим теперь перед собой аналогичную задачу и рассмотрим движение частицы в цилиндрической системе координат в плоскости Z=0. Кинетическая энергия движущейся частицы
T = і т (х* + 'у*) =і,т (р* + ,pV),
(17.62)
а потенциальная равна нулю. Уравнения Лагранжа в этом случае
запишутся так:
-ц(тр) — mp<p2 = 0, -^-(тр2ф) - 0.
(17.63)
Второе уравнение отражает закон сохранения момента количества движения, а первое можно понимать как равенство радиального ускорения центробежной силе. В этом смысле центробежная сила является реальной силой.
Упражнения
1. Записать уравнения Лагранжа движущейся частицы в сферической системе координат, потенциал V считать постоянным. Выделить члены, соответствующие центробежной силе и силе Кориолиса.
2. Имеется сферический маятник, в котором смещение массы т,
подвешенной на нити длиной характеризуется полярным и азимутальным углами O и <р (рис. 17.5).