Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 178

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 172 173 174 175 176 177 < 178 > 179 180 181 182 183 184 .. 185 >> Следующая


2. Под действием силы тяжести частица без трения скользит по циклоиде, заданной формулами x=c(0+sin6), у = с(\ — cos 9). Показать, что время, затрачиваемое частицей на весь путь от исходной точки до начала координат, равно T = (я/2) ~]/cfg и не зависит от положения исходной точки на кривой (О<0< я).

17.3. НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Уравнение (17.1) допускает обобщение. Рассмотрим случай, когда подынтегральная функция f определяется сразу несколькими зависимыми переменными у{ (х), у2 (х), уъ (х), . . ., которые являются фнукциями одной независимой переменной X. >

690 Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Для нескольких зависимых переменных уравнение (17.1) перепишется в следующем виде:

Xl

iW, ...,Уп(х), yix(x), ..., Упх(х), х]йх.(\7Щ

Xl

Как и в разд. 17.1, будем Определять экстремальное значение, сравнивая соседние пути. Положим, Уі (х, a)-=yi(x, 0)-har)t(x), і= 1, 2, . . ., n, (17.51) где т]г не зависят друг от друга, но в остальном удовлетворяют тем условиям, о которых говорилось в разд. 17.1. Поскольку уравнение (17.7) в данном случае тоже остается в силе, продифференцируем выражение (17.50) по a, a затем положим а = 0:

I 2(^ + ^)^ = 0' (17-52)

я I г

Снова каждый из членов типа (dfIdyix) г\1Х проинтегрируем по частям. Проинтегрированные части равны нулю, и из (17.52) получаем

*2

07.53)

xj і

В силу того что г\і произвольны и не зависят друг от друга* каждый из членов этой суммы должен независимо от других равняться нулю. Тогда

~§Уі Tx д(ду!/дх) -0,/=1,2.....п. (17.54)

Таким образом, возникла система уравнений Эйлера, каждое из которых выполняется при наличии экстремума.

Самое важное практическое приложение уравнения (17.50) связано с лагранжианом L, который заменяет в нем функцию f. Лагранжиан определяют как разность между кинетической и потенциальной энергиями системы

L = T-V. (17.55)

* Например, можно положить г|2 = г|3 = Tj4 — . . . = 0 и тем самым уничтожить все члены суммы, за исключением первого, а затем действовать в соответствии с разд. 17.1, 17.3. НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 691

Принцип Гамильтона. Выберем в качестве независимой переменной время t, тогда х будет функцией t, и сделаем замену переменных в системе уравнений Эйлера (17.54):

* -> Л Уі-+Хі (/), Уіх -> X1 (і). (17.56)

Здесь Xi (і) — смещение, a Xi (() — dXj/d/ — скорость 1-й частицы. В принятых обозначениях уравнение 8J = 0 отражает математическую формулировку принципа Гамильтона в классической механике:

h

І. • •

L (Xj, ^2, . • • > Xnt Xit X2, ...,

OA = O. (17.57)

*i

Иными словами, принцип Гамильтона говорит о том, что движение системы с момента времени ti до момента I2 происходит таким образом, что линейный интеграл от лагранжиана L сохраняет постоянное значение

Wf--Zr0- ' (17-58>

дхі 1

Эти уравнения для лагранжиана системы можно получить из уравнений движения Ньютона, и наоборот. Указанные системы уравнений называют фундаментальными. Однако формулировка Лагранжа имеет определенные преимущества по сравнению с уравнениями, которые отражают обычные законы Ньютона. Если уравнения Ньютона связывают векторные величины, то уравнения Лагранжа записаны для скаляров. Координаты X1, х2, X3t ... понимаются в широком смысле и не обязательно характеризуют размеры. Обычно их выбирают, исходя из требований конкретной физической задачи. Наконец, уравнения Лагранжа, хотя они и записываются не в столь наглядной форме, гораздо удобнее для описания сложных систем и легче переносятся из механики в другие области физики (например, в .квантовую механику).

Пример 1. Движение частицы в прямоугольных координатах. Построим лагранжиан (17.55) для частицы с кинетической энергией

Т = тх 2/2 (17.59)

и потенциальной энергией V (*). Сила, как обычно, задана с помощью отрицательного градиента потенциала:

F{x)=-dV(x)/dx. (17.60) 692

Г JI А В А 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Из (17.59) получаем второй закон Ньютона

dt

(тх)



dx

mx—F(x) = 0.

(17.61)

Пример 2. Д в и ж е н и е частицы в ц и л и д р и ч е с к о й системе координат. Поставим теперь перед собой аналогичную задачу и рассмотрим движение частицы в цилиндрической системе координат в плоскости Z=0. Кинетическая энергия движущейся частицы

T = і т (х* + 'у*) =і,т (р* + ,pV),

(17.62)

а потенциальная равна нулю. Уравнения Лагранжа в этом случае

запишутся так:

-ц(тр) — mp<p2 = 0, -^-(тр2ф) - 0.

(17.63)

Второе уравнение отражает закон сохранения момента количества движения, а первое можно понимать как равенство радиального ускорения центробежной силе. В этом смысле центробежная сила является реальной силой.

Упражнения

1. Записать уравнения Лагранжа движущейся частицы в сферической системе координат, потенциал V считать постоянным. Выделить члены, соответствующие центробежной силе и силе Кориолиса.

2. Имеется сферический маятник, в котором смещение массы т,

подвешенной на нити длиной характеризуется полярным и азимутальным углами O и <р (рис. 17.5).

Предыдущая << 1 .. 172 173 174 175 176 177 < 178 > 179 180 181 182 183 184 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed