Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
которое имеет два решения: значение Ci = 0,2350 приводит к «глубокой» кривой, а значение с2 = 0,8483 дает «плоскую» кривую. Какое из этих двух значений нужно взять, чтобы поверхность была минимальной? Какая кривая соответствует мыльной пленке? Прежде чем ответить на эти вопросы, положим, что кольца раздвинуты друг от друга так, чтобы X0 = I. Тогда уравнение (17.32) сведется к
которое не имеет вещественных решений! Физическая сущность процесса заключается в том, что кольца раздвигают до тех пор, пока не достигается точка, в которой мыльная пленка не может больше удерживаться горизонтальной силой и разрывается (необратимый процесс), так
1 - C1 ch (1/2C1),
(17.33)
1 = C1Ch (Mci)t
(17.34) G86
ГЛА'ВА 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
что вместо нее образуются пленки на каждом из колец (с общей поверхностью 2л = 6,2832. . .). Это условие разрыва Гольдшмидта.
Поставим вопрос: насколько большим может быть .V0, чтобы уравнение (17.32) еще имело вещественное решение? Положим с~і = р, тогда из (17.32) следует
р = chpx0. (17.35)
Из требования dxj dp — 0 вытекает
1 = X0ShpX0. (17.36)
Из (17.35) и (17.36) получим
рх о = Cthpx0 (17.37)
с корнем рх0 ~ 1,200. После подстановки в уравнение (17.35) или (17.36) имеем р= 1,811 (Ci = 0,5523) и Xomslkc-= 0,663.
Вернемся теперь к решению уравнения (17.33), которое описывает поверхность мыльной пленки, и рассчитаем поверхность, соответствующую каждому решению:
А = 4я J у (1 + уї)1/2 dx = J f dx -
о о
= 4нс, J (ch^-)J d* = JKjfsh (-^)+-^] . (17.38)
0
Для X0 — 1/2 уравнение (17.33) приводит к следующим значениям: Ci = 0,2350 ->- А - 6,8456; Ci = 0,8483 -+A = = 5,9917, откуда следует, что первое из этих решений может иметь только местный минимум. Более подробное исследование показывает, что эта поверхность не имеет даже местного минимума. При X0 = 1/2 мыльная пленка описывается «плоской» кривой
у = 0,8483 ch (х/0,8483). (17.39)
Этот «плоский», или мелкий, катеноид имеет абсолютный минимум в интервале 0 X0 < 0,528. Однако в области 0,528 < X < 0,663 его поверхность превышает поверхность, соответствующую разрывному условию Гольдшмидта (6,2832), поэтому указанный минимум является только относительным. 17.2. Ш'ИЛЬЖІШМЯ VPAliiiiiiJHiI ЭЙ Л Ei5A
Брахистохрона. Исторически первой задачей вариационного исчисления была задача о брахистохроне, или проблема кратчайшего времени. Она формулируется следующим образом: среди всех кривых, соединяющих точку (X1, у і) с началом координат, найти ту, по которой тяжелая точка, двигаясь из точки (Jr1, у ^ без трения, под влиянием силы тяжести с начальной скоростью, равной нулю, попадает в кратчайший срок в начало координат. В этой задаче время движения тяжелой точки равно интегралу
*1» 2/1
5 (|7-4°)
о
Поскольку по закону сохранения энергии mv2/2 = mg (уі —у), то V = Vty (уі — у) , и, следовательно,
о
Опуская постоянную 2g, запишем функцию f в виде
Н-й \1/2
У\—У
Снова OfIdx = O, поэтому, исходя из уравнения (17.16), имеем
/1 4-І/2 \ 1/2 W2
!ІМ--h-= с (17.43)
или 1/[(Уі-у)(\-{-уІ)]1/2 = с, откуда
/ 14-у2 \*/2
М-Й-) • (17-42)
У* = №)т 07.44)
где а = уи b =Vc2- у{. Введем новую переменную
(17.45)
Тогда, исходя из (17.44), получаем
**-- (Т*5ПГ)1/2 SinО Л - 41«1 -I- cos 0) do,
(17.46)
и, наконец, имеем известные уравнения циклоиды x-\~d = (О -I- sin 0), у— (1 — cos 0). (17.47) »
688 Г Л A BJA 17. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Постоянные интегрирования b и d определяются из требования прохождения циклоиды через начало координат
У, УшУі 8« Jt
S*" / / I \ Vi N ] / / і ^ » і
8Ш0 Hu 2 *Уі
а
Рис. 17.4. Брахистохрона, движение частицы по циклоиде (а) и циклоидальный маятник с ограничителями (б).
и точку (Xi, f/i), параметр а фиксируется в зависимости от координаты yif которая задает начальное условие задачи. В частном случае, когда Xi = (п/2)уи b = d — 0, тогда
* « (Є + sin 0), у = A (1 - cos В), (17.48) !7.3. НЕСКОЛЬКО ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 689
т. е. циклоида вычерчивается точкой, расположенной на ободе колеса радиусом yj2, катящегося вдоль линии у — Уі (рис. 17.4, а). Отсюда получаем интересное следствие. Время скольжения по циклоиде, заданной уравнениями (17.48), из точки (х2, Уг,) равно
и не зависит от начальной точки (см. гл. 15, задача о таутохроне). Любопытно сравнить движение по циклоиде с движением по круговому пути (обычный маятник). Указанное свойство циклоиды учитывается при конструировании маятника, период колебания которого не зависит от амплитуды. Поскольку разверткой круга служит циклоида, мы можем сделать маятник с некоторым ограничителем 1, имеющим форму циклоиды (рис. 17.4, б), тогда подвес маятника начнет огибать этот ограничитель, и его движение будет напоминать движение частицы, скользящей свободно без трения по циклоиде.
Упражнения
1. Мыльная пленка натянута между двумя кольцами единичного радиуса с центрами в точках ± X0 на оси х и перпендикулярными к этой оси. Найти такое значение ± х0, чтобы поверхность вращения оказалась равной площади двух торцовых колец (разрывное решение Гольдшмидта).
