Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
13.3. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
Производящая функция. В гл. 12 упоминалась производящая функция ультрасферических многочленов, или полиномов Гегенбауэра*
2? пШ |/|<1, (13.61)
которые при ? = 0 переходят в полиномы Лежандра. В этой главе мы рассмотрим две системы полиномов, возникающие при ? = ± 1/2, они называются полиномами Чебышева.*
Полиномы Чебышева второгоТрода. Пусть ?=l/2, тогда уравнение (13.61) переходит в
OO
= (13.62)
п=0
Для дальнейшего удобно изменить обозначение и положить
(X) = Un(X). (13.63)
* Полиномы Гегенбауэра обозначаются Cjj** (.г):
1/2
Спа) М=2«-./"(а_1)1 ГГ'/2 W' ^ W = t/" W' 544 , і' л а в А із. специальные функцНП
Это дает
1
1—2Х/ + /2
- %Un(x)tn. (13.64)
n=0
Функции Un (х), входящие в разложение (1—2xt -f /2)-1, называются полиномами Чебышева второго рода.
Полиномы Чебышева первого рода. При ? = —1/2 возникает затруднение: в левой части уравнения (13.61) исчезает зависимость от переменных t и х. Чтобы преодолеть эту трудность, продифференцируем (13.61) по а затем положим ? ---= —1/2, тогда
_ сю
TJT = VrJ S ^1. (13'65)
l-2xt + ?
ti=o
Умножая уравнение (13.65) на 21 и прибавляя единицу получаем
_ OO
I-*2
2 = 1+ VjT Ъ 2пТ-'/2 W(13-66)
1 —2tx-\-t
n-Q
Для /г>0 определим Tn (х) так:
Tn(X) = Y -^nTnlf2(X)1 (13.67)
тогда
J-^ti= 1 + 2 J1Tn(X)In. (13.68)
OO
Tl= I
При п = О для сохранения рекуррентной зависимости (13.70) положим T0 (х) = 1. Функции Tn (*) называют полиномами Чебышева первого рода. (Обозначение этих функций различно.)
В полиномах Чебышева первого рода сочетаются характерные признаки рядов Фурье и ортогональных полиномов. Эти полиномы широко применяются в численных расчетах. Например, приближение наименьших квадратов дает минимальную среднеквадратичную ошибку. Вычисления с помощью полиномов Чебышева дают более высокое значение среднеквадратичной ошибки, зато снижают значение максимальной ошибки. 13.3. полиномы чеВышева
545
Из производящих функций (13.64) и (13.68) вытекают рекуррентные соотношения
Тпи(х)-2хТп(х) + Тп_,(х) = 0, ' Um (*) - 2xUn (х) + Un,і (х) = 0. .
(13.69)
Пользуясь производящими функциями для нескольких первых значений п и этими рекуррентными зависимостями, которые позволяют получить полиномы более высокого порядка, найдем явное выражение для первых полиномов Чебышева первого и второго рода:
T0 = 1, T1 = X1 T2 = 2х2-1,
Ti = Ax9-Sx1 T4 = 8*4-8*2-f1, } (13.70)
T5= 16*б-20гЧ-5*, T6—32*6—48*4-f 18*2 — 1;
и
U0 = 1, Ui = 2х, U2 = 4*2-1,
U3 = Sx9-Ax1 Uft= 16^-12^ + 1, } (13.71)
U5 = 32*5-32*34-6*, Ui = 64л:в—80;с4+24л:2— 1.
Поведение полиномов Чебышева первого и второго рода видно из рис. 13.6.
Некоторые частные значения полиномов Чебышева получаются непосредственно из производящей функции:
Tn(I)=I, Тп(-\) = (-\)\ T2n (0) = (— 1)Л,
T** i(0) = 0; (13.72)
Un(\) = n-\-1, ?М-1) = (-1)п(И-1),
U2Ti (0) = ( • 1)п» U2nH (0) = 0. (13.73)
Четность полиномов Чебышева Tn и Un характеризуется соотношениями
Tn(*) = (-l)nTn(-*), Un(x) = (-\)nUn(-\). (13.74)
Для этих полиномов существуют представления в виде формул Родригеса
i-^rl/2i (13.75)
35-1257 а
Рис. 13.6. Полиномы Чебышева первого (а) и второго (б) рода Tn (х) и Un (х). 13.3. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
547
и
Рекуррентные соотношения. С помощью производящих функций для Tn (х) и Un(x) можно вывести различные рекуррентные соотношения, содержащие производные. К числу наиболее распространенных относятся
(1-*2)Г; (x)= -пхТп (х) +^tfV1 (х), (13.77)
(1-х2) ?/;(*)= -tixUn(x) + (n4-\)Un-i(x). (13.78)
Комбинируя уравнения (13.69), (13.77) и (13.78), убеждаемся, что полиномы Чебышева первого и второго рода Тп(х) и U (п) удовлетворяют дифференциальным уравнениям
(1 - х») Г; (x) - хт'п (x) +я2Гп (x) - 0, (13.79),,
(1-X*) Un (х) - ZxU'n (X) -f п (п + 2) Ua (х) = 0. (13.80)
Уравнение Гегенбауэра
(1-*«)/-2(1+Р)^' + я(Л + 2Р + 1)У = 0 (13.81)
ф
является обобщением этих уравнений и сводится к (13.79), если P-- 1/2, и к (13.80), если р= + 1/2; если ? = 0, то получается уравнение Лежандра.
Иногда вводят новую функцию Vn (х), записав ее через полиномы Чебышева второго рода:
Vn+i W = VT^tf Un (х). (13.82)
Заметим, что индекс повысился здесь с п до п + 1. Можно показать, что Vn (х) удовлетворяет уравнению (13.79).
Производящие функции или дифференциальные уравнения могут служить основой для получения рядов, которыми представимы полиномы Tn (х) и Un (х):
[П/2]
г.м=! S (-')"*??
т=0
= xті- C2nXn-2 (1-а:2) + Cixn-* (1 - а:2)2 - ..., (13.83)
[п/2]
^w= Ii ^r J^ ^2m- (13-84)
m—O
35* 548
.глава 13. специальные функции
Из уравнения (13.82) имеем
Vn (X) =
- V і - *2 [C1nXn-1 - Clxn-3 (1-х2) + CUn-6 (1 - X2)2 - ... ].
(13.85)
Комбинируя уравнения (13.83) и (13.85), получаем
Tn(x) + iVn(x) = [x + i(l-x*)l/2]\ Н<1. (13.86)
Ортогональность. После записи уравнения (13.79) в самосопряженной форме (см. разд. 9.1), возникает весовая функция W.= (1 — Jf2)-1/2. Для уравнения (13.80) соответствующая весовая функция равна (1-х2)1/2. Окончательный вид интегралов, характеризующих свойства ортогональности:
