Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
±a^y+ O-T--u^)'*<із-5б>
где Ф (р) — R (р/а). Сравнение с уравнением (13.51) для
функции Фп(х) показывает, что уравнение (13.56) имеет решение
РФ (P) = (р). (13.57)
в котором k заменено на 2L + 1, а п на п + L.
Можно наложить ограничение на параметр X и потребовать, чтобы он пробегал целый ряд значений я, п = 1, 2, 3, . . . *. Это необходимо сделать, так как функции Лагерра при нецелом п будут расходиться как рпеР, что противоречит физическому смыслу рассматриваемой задачи, для которой Iim R (г) = 0. Введенное ограничение на параметр X
Г-УОО
* Это принятое обозначение для А.; оно не имеет ничего общего с индексом п у функции Ф* (*). 540
>
ГЛАВА ІЗ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(фактически оно возникло из граничного условия) приводит к квантованию энергии '
Еп = ъШ' (13.58)
Знак минус возник здесь потому, что мы имеем дело со связанными состояниями (E = 0 соответствует такому состоянию, когда электрон удален на бесконечность). С учетом результата для En величина
P- —г, (13.59)
r па0 v
где а0 = U2Ime2- радиус Бора. Окончательно нормированная волновая функция атома водорода имеет вид
X^tj-I(CCr)Vf (0, ф). (13.60)
Упражнения
1. Показать с помощью формулы Лейбница, что разложение функции Ln(x) в ряд (13.32) следует из формулы Родригеса (13.31).
2. Из записи волновой функции в форме (13.60) следует, что нормированная радиальная часть волновой функции атома водорода имеет вид
где а=21\пщ ~ 2Ztne2/n№. Определить
СО OO
Г-
O О
со оо
J rRnL (аг) Rnb (аг) r* dr, R=J г~ЩпІ4 (аг) Rnh (аг) r2 dr,
где г—среднее расстояние между электроном и ядром, а г-1—-среднее значение обратной величины.
Ответ: 7=-^- [3n*-L {L +1)], FU=JL.
3. С помощью производящей функции вывести формулу Родригеса 13.2. ПОЛИНОМЫ .ИЛГР.РРА
541
4. Вычислить обобщенный интеграл
оо
j (х) Lj {х) dx= (2n + k + l)a
о
и показать, что необходимо требовать, чтобы а>— k— 1. Указание. Отметим, что для целого а справедливо
* L J = (2я + A -f 1) Lkn- (п + k) Lhn_! - (я-1) Ljtfl.
5. Переписать волновое уравнение Шредингера для атома водорода в параболических координатах. Разделить переменные и показать, что ненормированные решения имеют вид
еім«Р, е-^'У'72^ И) (М>0)>
Z
где «і и /І2—неотрицательные целые числа, а а — —;—-......
00(^1 +^2+*" T 1)
Убедиться в правильном написании нормированной волновой функции
р Г_CT^n1In2I_-]1/2
тщп2М tI' Ji(Zt1H-M)! (я2 + Л4)! (ЛІ + Лз + М+І) J
X аМ (ft)"/* (а|) LM и) ЄІМЧ>
Выбор системы координат не может влиять на поведение физической системы, поэтому должно быть соответствие между г|> (г, 0, ф) в сферических и \j) (I, TJ, ф) в параболических координатах. Показать, что
%ьм(г, О, ф)=^ioo (rJ O, ф)=і|>ооо(?> *Ь Ф) = ^mn2M ^ tP)' Ъао{г, 0, ф) = -^-[1[>о1о (?. 1I, ф)+%оо (?, "Л» ф)],
Ьм (', 0, Ф)=-^- №но (?» П. ф) Фюо ІІ, *Ь Ф)1-
Указание. Между квантовыми числами существует общая зависимость
л^Пі+Пг + М + І, M=M.
Слева в уравнениях квантовые числа в сферических координатах, а справа в параболических. Квантовое число п требуется для определения радиальной экспоненциальной зависимости, а М—для азимутальной.
6. Волновое уравнение трехмерного гармонического осциллятора записывается в виде
-яг^н-т**=1*
Показать, что радиальная часть может быть записана через полиномы Лагерра с аргументом Ут/k г*. 542
)
ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
7. Используя точную форму записи (13.31), показать, что 1}'г(0) =
L"n(Q) = n (п—1)/2. Проверить это с помощью других методов.
8. Радиальная часть решения уравнения Шредингера для атома водорода в связанных состояниях записывается с помощью полиномов
ер d^ Ji
Лагерра L---г-(е Рр ), где целое положительное
ЯI dp
Рис. 13.5. Контуры интегрирования /, 2 и 3 в !-плоскости.
число, а р=2 "]/—2? r=2Zr/« с ?< 0 для связанных состояний. Для свободных состояний E > 0 и р —> /р. Изменение знака энергии
означает также, что п—>—iZf~]/2E= — in', где /Г — вещественная, а п—-чисто мнимая величина. Показать, что дифференциальное представление Li можно распространить на все і (вещественные или комплексные), используя интегральную формулу Коши, в результате чего получится
Контур интегрирования в s-плоскости охватывает точку s = р, а в ^-плоскости—начало координат.
9. Радиальная собственная функция в задаче об атоме водор'ода задается через присоединенные полиномы Лагерра
ли
*=<*-»/<p)-=e,e-»V ~ Lx (P)1
в которых %—n + L, |i=2L-f-l> Здесь C1-постоянная, куда входят энергия и момент количества движения электрона. 13.3. ПОЛИНОМЫ ЧЕВЫШЕВА
543
Имея в виду результат упр. 8, показать, что
1 "
^(-''p)^""2-^ ] е-' (* + р)и-ь-И dt =
JefcI6+T) (6-т) *
-L-i
Показать, что R вещественно, если р и п—чисто мнимые величины.
Существует три контура для представления радиальной волновой функции контурным интегралом в комплексной ^-плоскости (рис. 13.6). Показать, что контуры 1, 2 vi 3 служат для описания соответственно стационарного состояния, асимптотической падающей волны и асимптотической расходящейся волны.
