Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
п
= 3(-1)
W=O
т
п\
п
,т
{п—т)\т\т\
2(-1)-
п\хп~
8=0
(п—s)! (п—s)!s! *
(13.31)
Приведем несколько полиномов Лагерра (на рис. 13.4 показан вид функций L0 (х), Li(X) и L2 (х)), вычисленных 536
.ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(13.32)
с помощью этого ряда:
L0(Jc)-I, Li(X)=-X^-1, 2!L2(х) = х2—4х + 2, ^ 3!Lg (х) — — х3 + 9х2 — 18x4-6, 4!L4 (х) =
= x4 — 1 бх3 + 72х2—96х+24, 5!LS (х) = —хб+25х4 - 200х3 + 600х2- бООх + 120, б! Le (х) = x6- 36хб + 450х4 - 2400х3 + 5400х2 -— 4320Х + 720.
Дифференцируя производящую функцию (13.27) по х и z, получаем рекуррентные соотношения
(п + 1) Lnn (X) = (2/1 + 1 - *) Ln (X) - nLn_i (X)1 (13.33)
xLn (х) — riLn (х)— nLn_i (х). (13.34)
С помощью той же функции (13.27) находится значение полиномов для частного случая х = 0
Ln(O)-I. (13.35)
Из формы производящей функции или вида дифференциального уравнения Лагерра следует, что полиномы Лагерра не имеют определенной четности; это же ясно видно и из уравнений (13.32).
Дифференциальное уравнение Лагерра не относится к типу самосопряженных, поэтому полиномы Лагерра Ln (х) сами по себе не образуют ортогонального набора функций. Однако связанные с ними функции * <pn (х) = — e~*/2Ln (х) ортонормированы в интервале 0 ^ х < оо, т. е
OO
j[ e-*Lm (x) Ln (X) dx = om, П. (13.36)
о
Новые ортонормированные функции срп(х) удовлетворяют дифференциальному уравнению
XVn (*) + фі M + (Л + ---f -) фп (*) = 0. (13.37)
«
которое, очевидно, записано в форме Штурма — Лиувилля, т. е. является самосопряженным. Заметим, что именно
* Весовой множитель е-*7'2 определяется с помощью методов, рассмотренных в разд. 9.J. 13.2. ПОЛИНОМЫ JlATfePliA
537
граничные условия теории Штурма — Лиувилля фиксируют интервал изменения переменной 0 ^ х < с», внутри которого функции фп ортогональны. Условие (13.36) проверяется подстановкой в него производящей функции (13.27).
Присоединенные полиномы Лагерра. Во многих задачах, особенно в квантовой теории, встречаются присоединенные полиномы Лагерра, определяемые как *
I*(x) = (-\)k?[U*(x)]. (13.38)
Запись полиномов Лагерра в форме ряда дает
lS(jc)=l, Lf(X)=-X + *-И. (13.39)
LUx) = ?-(k + 2)x+- (к+21(Ш) . (13.40) И вообще,
ium= і; (~1г (*>-')• (із-4і>
To=O
Продифференцировав производящую функцию для полиномов Лагерра k раз, можно получить соответствующую производящую функцию для присоединенных полиномов. Изменив индекс у LnJhki запишем
-XZ/(\-Z) °°
— = SLSWA |г|<1, (13.42)
* ' п=0
откуда
Ln (0) = (n + k)\fn\k\ (13.43)
Рекуррентные соотношения, которым подчиняются присоединенные полиномы Лагерра, легко получаются либо непосредственно с помощью производящей функции, либо дифференцированием рекуррентных соотношений для полиномов Лагерра. Приведем два из них:
(п+1) Ln+i (x) = (2n+k+\ — x) Ln(X)-(n+k) Li.х (*),
(13.44)
xL* (х) = nL\ (x) -(n + k) Ln-X (.X)• (13.45)
* Некоторые авторы пользуются обозначением (х) —
0тсюДа ^nW== (~Vk^ifkW- 538
.ГЛАВА 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Эти формулы или fc-кратное дифференцирование уравнения Лагерра позволяют получить уравнение для присоединенных полиномов Лагерра
Ln (X) + (k +1 - X) Lkn (х) + nLl (х) = 0. (13.46)
Присоединенные полиномы Лагерра, выраженные через формулу Родригеса, записываются так:
(13.47)
Читатель может заметить, что все приведенные здесь формулы для Ln W при k = 0 сводятся к соответствующим выражениям для Ln (х).
Присоединенное уравнение Лагерра (13.46) не является самосопряженным, однако умножая его на весовую функцию (см. разд. 9.1) Q-xXkt мы приведем его к самосопряженному виду:
OO
j Q-xXkLhn (X) Lhm (X) dx = ^SL V ». (13.48) о
Функция i|>n (jt) = Q-xI2XmLn (х) удовлетворяет самосопряженному уравнению
х€ (X) + (*) + (- ¦?+ЩИ -1) ^n W = 0. (13.49)
Наряду с указанной находит применение еще одна функция *:
ФІ (X) - Q-*»xW>»Ll (Х). (13.50)
Подстановка ее в присоединенное уравнение Лежандра приводит к дифференциальному уравнению для этой функции
ФГ(-)+(4+2-^-?^W=0- (13-51)
Соответствующее условие нормировки запишется как
OO *
j Q-xxk+1Ln (х) Ln w dx = ^~^-(2n-\-k+\). (13.52) о
* Она соответствует видоизмененной функции ij) из уравнения (13.49) (см. упр. 4 к разд. 8.5). 13.2. полиНомы .Илгр.рРа
539
Читатель может проверить, что функции Ф* (х) не образуют ортогонального набора (без множителя х~х в качестве весовой функции), так как множитель х'1 записывается в виде (2п -I- k + \)!2х.
Одним из наиболее важных приложений полиномов Лагерра служит решение волнового уравнения Шредингера для атома водорода:
—ЯГ v^-jTi * = <13-53)
Здесь Z = 1 для водорода, Z = 2 для однократно ионизованного атома гелия и т. д. Разделив переменные, убедимся, что зависимость j от углов выражается функцией
УL (O, ф). Радиальная часть R (г) удовлетворяет уравнению
ft! 1 d / dR \ Ze* ? П2 L(L+\) рп
(13.54)
Введем обозначения
р = аг, а»=_і^(?<0), * = (13.55)
после чего уравнение (13.54) приобретает вид
